Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений

В этом пункте мы выведем основную формулу, позволяющую выразить объем тела через площади сечений этого тела, параллельных некоторой плоскости.

Определение. Тело назовем регулярным, если существует такая плоскость , что:

а) тело лежит по одну сторону от этой плоскости;

б) все сечения тела плоскостями, параллельными плоскости , квадрируемы;

в) площадь сечения , параллельного плоскости и отстоящего от нее на расстояние , является непрерывной функцией от ;

г) если , то проекция сечения на плоскость содержит проекцию сечения на ту же плоскость.

Теорема 2. [i]Если тело регулярно, то оно кубируемо, причем его объем выражается формулой

(2)

Здесь — площадь сечения тела плоскостью, параллельной плоскости и отстоящей от нее на расстояние , нижний предел — наименьшее из расстояний точек тела от плоскости , верхний предел — наибольшее из этих расстояний (см. рис. 42, где ).

Доказательство. Рассмотрим некоторое разбиение отрезка и на расстояниях проведем плоскости, параллельные плоскости . Данное тело этими плоскостями разобьется на частичные "ломтики" .

Рассмотрим k-й частичный "ломтик". Его высота равна . Так как функция непрерывна на отрезке , то она принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения. Наименьшее значение площади сечения для этого «ломтика» обозначим , а наибольшее . Построим два прямых цилиндрических тела с основаниями и . В силу условия г) регулярности тела цилиндрическое тело с основанием лежит внутри частичного "ломтика", а цилиндрическое тело с основанием целиком его содержит. Объем внутреннего цилиндрического тела будет . Объем внешнего цилиндрического тела будет .

Объединяя все внутренние и все внешние цилиндрические тела, получим два тела и такие, что . Объем тела равен:

, а объем тела равен .

Но и являются нижней и верхней суммами Дарбу для интеграла . Поэтому для любого найдется такое разбиение отрезка , что

, то есть .

Отсюда следует, что тело кубируемо. При этом объем тела удовлетворяет неравенствам

. Но, с другой стороны,.

Значит, числа и разделяют одни и те же числовые множества. Поскольку эти множества разделяются лишь одним числом, то

, что и требовалось доказать.

Пример 1. Вычислить объем пирамиды, площадь основания которой равна , а высота (рис. 43).

Решение. Так как , то . Следовательно,

Пример 2. Вычислить объем шарового слоя, отсеченного от шара плоскостями и .

Решение. Плоскость, перпендикулярная к оси абсцисс в точке ху пересекает шар по кругу радиуса . Площадь сечения и, следовательно,

Дата добавления: 2014-12-16