Нахождение интерполирующих кривых

В первой части пособия рассматривались измерения той или иной физической величины, находящейся при проведении серии измерений в неизменном состоянии. Очень часто исследуемая величина меняется в соответствии с изменением условий опыта или времени. Цель эксперимента в этом случае состоит в нахождении функциональной зависимости, которая наилучшим образом описывает изменение интересующего нас параметра.

Следует понимать, что однозначно восстановить (большей частью неизвестную) функциональную зависимость между переменными невозможно даже в том случае, если бы переменные величины, полученные из опыта, не имели бы ошибки измерения. Тем более не следует ожидать, что это удастся сделать, имея экспериментальные данные, содержащие, по крайней мере, случайные ошибки измерений.

Поэтому математическая обработка результатов наблюдений не может ставить перед собой задачу разгадать истинный характер зависимости между переменными. Она позволяет лишь представить результаты опыта в виде наиболее простой формулы.

В зависимости от назначения этих формул существуют различные методы их получения, отличающиеся сложностью расчетных процедур и точностью получаемых решений.

3.1. Графический метод обработки результатов

Графический метод заключается в построении графика зависимости между исследуемыми величинами с последующим определением уравнения зависимости между ними.

Графики строят прежде всего в равномерных шкалах. Если характер связи между исследуемыми величинами неизвестен, то сначала проверяют совпадение экспериментальных точек с заданной кривой. Если предварительные сведения о характере уравнения отсутствуют, то первым этапом обработки данных является нахождение кривой, совпадающей с опытными точками. Эта задача решается методом подбора. Можно использовать эталон - кальку с предварительно вычерченным на ней семейством кривых с различными параметрами. Естественно, что масштаб кальки и эмпирической кривой должен быть одинаков.

Построенный по опытным данным отрезок кривой может совпадать с большим количеством различных кривых, проходящих достаточно близко к опытным точкам. В этом случае выбирают кривую с наиболее простым и удобным в использовании уравнением. Иногда эмпирическая кривая может иметь перегибы или состоять из отдельных ярко выраженных участков. Однако при этом необходимо определить координаты точек перехода от одной кривой к другой.

Уравнение зависимости между исследуемыми величинами при графическом методе просто определяется тогда, когда эмпирические точки достаточно хорошо совпадают с прямой линией, т.е. описываются уравнением y = ax + b, где a, b - коэффициенты, подлежащие определению.

Определение коэффициентов при графическом методе основано на ² способе натянутой нити². Нанеся результаты эксперимента на график (лучше, если он выполнен на миллиметровке), подбираем графическую прямую, ближе всего подходящую к нанесенным точкам. Выбрав положение прямой, определяем две произвольные точки на этой прямой (не обязательно являющиеся точками эксперимента), определяем их координаты (x₁; y₁), (х₂; y₂). И для определения коэффициентов а и b получаем два простых уравнения

ах₁ + b = y₁;

ах₂ + b = y₂.

На рис. 10 приведена иллюстрация этого метода. Точки - результаты, полученные в эксперименте. Прямая проведена на глаз как можно ближе к экспериментальным точкам. На прямой выбраны точки М (2; 4) и N (13; 10). Коэффициент а характеризует угол наклона прямой.

Поэтому

.

Таким образом y = 0,55х + 2,9.

В случае, если экспериментальная зависимость имеет нелинейный характер, то графическим способом в системе координат с равномерными шкалами определить коэффициенты кривой затруднительно. Но достаточно большой класс нелинейных зависимостей путем замены переменных и графического изображения в функциональных шкалах можно привести к линейным и далее использовать способ натянутой нити.

3.2. Функциональные шкалы и их применение

Пусть функция y = ¦ (х) непрерывна и монотонна на некотором промежутке [ a; b ]. Возьмем ось ОМ, на которой будет строиться шкала, выберем на ней точку начала отсчета О и установим масштаб m. Функциональная шкала строится следующим образом.

Разбив интервал [ а; b ] на равные части, вычисляем значение функции ¦ (х) в каждой из точек деления и отложим на оси ОМ для каждой точки отрезок m ¦ (х). Получающаяся при этом точка снабжается отметкой х, т.е. откладывается в выбранном масштабе значение функции, а надписывается значение аргумента.

Иногда начало шкалы помещают в первую точку отсчета, т.е. точку с надписью а совмещают с 0. Тогда точка х будет находиться в конце отрезка m [ ¦(х) - ¦(а) ]. Полученная шкала позволяет судить о поведении функции на рассматриваемом участке: большие промежутки между отметками укажут, что функция изменяется быстрее, чем там, где эти промежутки малы.

Выбор масштаба m определяет длину шкалы. Чаще поступают наоборот: задаются длиной шкалы l и определяют масштаб.

Þ m = .

Пример. Построим функциональную шкалу для функции y = x² на участке [ 1; 2 ]. Зададимся длиной шкалы l = 12 см. Тогда m = см. Разобьем отрезок [ 1; 2 ] на десять равных частей и вычислим значения функции во всех точках деления. Совместим начало шкалы с точкой отсчета х = 1. Результаты расчета сведены в табл. 2, а функциональная шкала приведена на рис. 11.

Таблица 2

Расчет функциональной шкалы y = x²

х	1,0	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7	1,8	1,9	2,0
х^2	1,0	1,21	1,44	1,69	1,96	2,25	2,56	2,89	3,24	3,61	4,00
х^2-1		0,21	0,44	0,69	0,96	1,25	1,56	1,89	2,24	2,26	3,00
4(х^2-1)		0,84	1,76	2,76	3,84	5,00	6,24	7,56	8,94	10,44	12,0

1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

Рис. 11. Функциональная шкала y = x²

С помощью функциональных шкал графики многих функций могут быть преобразованы к прямолинейному виду.

Например, уравнение параболы y = x². Если на оси OY нанести равномерную шкалу, а на оси OX₁ шкалу квадратов х₁ = х², то получится сетка, где уравнение параболы имеет изображение прямой линии (y = x₁),

проходящей через начало координат.

Особенно часто используются различные логарифмические функции, с помощью которых можно ² выпрямлять² графики степенных и показательных функций. Например, y = ae^bx; lg y = (b lg е) х + lg a. Полагая lg y = y₁, lg a = A, b lg e = B запишем исходное уравнение в виде y₁ = А + Вх, откуда видно, что оставив равномерной шкалу х и построив логарифмическую шкалу y₁, можно изобразить исходное уравнение прямой линией. Полученная координатная сетка называется полулогарифмической.

Очевидно, что такого рода преобразования возможны и в более общем случае. Всякая неявная функция, заданная соотношением вида

аj (х) + by (y) + с = 0,

где a, b, с - постоянные, будет изображаться прямой линией на функциональной сетке, где на оси ОХ построена шкала j (х), а на оси OY - шкала функции y (y). Естественно, что функции j (х) и y (y) должны удовлетворять условиям непрерывности и монотонности. В табл. 3 приведены преобразования для некоторых функций.

Таблица 3

Линеаризация некоторых функций

Исходная формула	Преобразованная формула	Замена переменных	Линеаризованная формула
y=ax^b	lg y=b× lgx+lga	lg y=y1 lg x=x1 lg a=a1	y1=bx1+a1
y=a× lgx+b	¾	lg x=x1	y=ax1+b
y=e^bx+k	lg y=b× lge× x+k× lge	lg y=y1 b× lg e=a k× lg e=k1	y1=ax+k1
y=ae^bx	lg y=bx× lge+lga	lg y=y1 b× lg e=b1 lg a=a1	y1=b1x+a1
y=	¾		y=ax1+b
y=			y1=ax+b
y=			y1=bx1+a

Из сказанного ясна роль функциональных сеток при обработке результатов эксперимента. Если результаты эксперимента располагаются вблизи кривой, то по имеющемуся ограниченному участку кривой трудно судить, какого типа функцией ее лучше всего приближать. Переведя полученные экспериментальные данные на функциональные сетки можно оценить на какой из них эти данные ближе всего подходят к прямой и, следовательно, какой функцией лучше всего описываются.

3.3. Аналитические методы обработки результатов

Графический метод обработки результатов обладает наглядностью, относительной простотой, однако его результаты содержат определенную субъективность и относительно низкую точность.

Аналитические методы лишены в какой - то степени указанных недостатков и позволяют получить результат для более широкого класса функций с большей точностью, чем графический метод.

Существуют различные аналитические методы получения параметров эмпирических кривых в зависимости от критерия, принятого при их получении. Рассмотрим некоторые из существующих способов.

3.3.1.Способ средней

Допустим, что имеется n сочетаний x_i, y_i, полученных при эксперименте. Даже в том случае, если между х и y теоретически установлена функциональная связь (в данном случае предположим, что линейная), то наблюдаемые значения y_i будут отличаться от ах_i + b вследствие наличия экспериментальных ошибок. Обозначим через D _i соответствующую ошибку

D _i = y_i - ax_i - b (i = 1, 2,..., n)

Если выбирать параметры а и b так, чтобы для всех n наблюдений ошибки уравновешивались, т.е. , то это привело бы нас к одному уравнению, тогда как для нахождения двух коэффициентов (а, b) их требуется два. Поэтому предположим, что уравновешивание происходит не только для всех произведенных наблюдений в целом, но и для каждой группы, содержащей половину (или почти половину) всех наблюдений в отдельности.

В этом случае можно прийти к системе уравнений

,

где m - число наблюдений в первой группе.

Данную систему уравнений запишем теперь в виде

.

Изложенное показывает, что метод средних ² уравновешивает² положительные и отрицательные отклонения теоретической кривой от экспериментальных значений.

Пример.Используя данные рис. 10 определим коэффициенты а, b методом средней. Для этого семь измерений разделим на две группы m = 3 первых значений, n - m = 4 последующих

; ;

; .

Получаем систему

Решая систему находим

^;

b =

Таким образом способ средней дает прямую

y = 0,55х + 3,11.

В сравнении с графическим способом коэффициенты а совпадают и имеется различие в коэффициенте b.

3.3.2. Метод наименьших квадратов

В методе средних при определении коэффициентов уравнения использовалось условие равенства нулю алгебраической суммы отклонений результатов эксперимента от теоретической кривой (в частном случае прямой). Очевидно, что при этом D _i могут быть значительной величины. Имеет значение только ² уравновешивание² положительных и отрицательных отклонений.

Поставим теперь задачу нахождения по результатам наблюдений наиболее вероятные значения неизвестных коэффициентов.

Предположим, что искомая зависимость y = ¦(х) существует. Тогда параметры этой линии необходимо выбрать таким образом, чтобы точки y_i располагались по обе стороны кривой y = ¦(х) как можно ближе к последней. Предположим, что разброс точек y_iотносительно y = ¦(х) подчиняется закону нормального распределения. Тогда мерой разброса является дисперсия s ² или ее приближенное выражение - средний квадрат отклонений.

.

И требование минимального разброса будет удовлетворено, если минимизировать выражение (D y_i)². Как известно, необходимым условием того, что функция приобретает минимальное значение, является то, что ее первая производная (или частные производные для функции многих переменных) равна нулю. Применение метода наименьших квадратов имеет смысл, если число экспериментальных точек n больше числа определяемых коэффициентов.

Рассмотрим реализацию метода наименьших квадратов применительно к уравнению вида y = ax + b.

Для нахождения коэффициентов а, b искомой прямой необходимо минимизировать сумму квадратов расстояний D y_i по ординате от точки (х_i; y_i) до прямой (см. рис. 12). Расстояния D y_i определятся

D y_i = y_i - ax_i - b.

Для минимизации приравниваем к нулю производные этой суммы по параметрам а, b:

;

.

Преобразуем эту систему

Получим систему нормальных уравнений метода наименьших квадратов.

Решая ее относительно а, b получаем:

; .

Вычисляя из n опытов необходимые суммы и производя указанные действия, получаем величину коэффициентов а, b.

Как видно, способ наименьших квадратов достаточно громоздок и при его применении широко используется вычислительная техника. Метод наименьших квадратов может использоваться и в случае нелинейных функций. Например, если определяются параметры квадратичной зависимости:

y = ах² + bx + с,

то

.

Дифференцируя это соотношение по а, b, с получаем систему нормальных уравнений:

Из этой системы можно определить параметры а, b, с.

При использовании метода наименьших квадратов при других нелинейностях, удобнее будет линеаризовать исходные зависимости.

В табл. 4 приведены системы нормальных уравнений для некоторых исходных уравнений.

Таблица 4

Системы нормальных уравнений

Исходное уравнение	Система нормальных уравнений
y=ax^b
y=a× lgx+b
y=e^ax+b
y= ae^bx
y=
y=
y=

Примечания: 1. Величины х, y обозначают значения величин х_i, y_i в i-ом опыте;

2. Знак S обозначают сумму величин от i = 1 до i = n, где n - число равноточных измерений.

3. Интерполирование функций

Известно, что под интерполированием понимают отыскание значений функции, соответствующих промежуточным значениям аргумента, отсутствующим в таблице логарифмов, тригонометрических и др. функций.

В общем смысле можно сказать, что задача интерполирования обратна задаче табулирования функций. При интерполировании по таблице значений функции строится ее аналитическое выражение, т.е. по значениям функции y_o, y₁,..., y_n при значениях аргумента х_о, х₁,..., х_n определяется выражение неизвестной функции.

Понятно, что через данные точки (даже большого числа) можно провести множество различных кривых. Поэтому существует интерполирование в различных функциях F (х). Чаще всего требуют, чтобы функция F(х) была многочленом степени на единицу меньшей, чем число известных значений.

Таким образом, задачу интерполирования функций можно сформулировать следующим образом.

Для данных значений х º х_о, х₁,..., х_n и y º y_o, y₁,..., y_n найти многочлен y = F (х) степени n, удовлетворяющий условиям F (х_о) = y_o, F (х₁) = y₁,..., F (х_n) = y_n. Точки х_о, х₁,..., х_n называют узлами интерполяции. Многочлен F (х) - интерполяционным многочленом, а формулы его построения - интерполяционными формулами.

Как видно из описания сущности интерполирования, в отличии от описанных ранее способов получения функций (графического, метода средних, метода наименьших квадратов), интерполяционный многочлен опишет кривую, проходящую точно через заданные точки.

4. Параболическое интерполирование

При параболическом интерполировании в качестве интерполяционного многочлена F (х) принимают многочлен n - ой степени вида

F (х) = а_о + а₁х + а₂х² +... + а_nxⁿ.

Используя свойство прохождения функции F (х) через заданные точки для неизвестных коэффициентов а_i можно составить n + 1 уравнений с n + 1 неизвестным:

а_о + а₁х_о + а₂х_о² +... + а_nх_оⁿ = y_o;

а_о + а₁х₁ + а₂х₁² +... + а_nх₁² = y₁;

....................................................

а_о + а₁х_n + а₂х_n² +... + а_nх_n² = y_n.

Эта система имеет единственное решение, если значения х_i отличны друг от друга. Понятно, что при большом n возникает сложность решения этой системы. Перед рассмотрением общего способа решения, рассмотрим простой пример.

Дано: х_о = 0, х₁ = 1, х₂ = 2, y_о = 1, y₁ = 1, y₂ = 3. Определить многочлен F (х).

Записывая многочлен F (х) в виде

F (х) = а_о + а₁х + а₂х²

составим систему уравнений

или

откуда а_о = 1, а₁ = - 1, а₂ = 1 и интерполирующий многочлен имеет вид

F (х) = 1 - х + х².

Теперь рассмотрим общий подход к отысканию интерполяционного многочлена F (х), не решением системы, а непосредственной записью.

Определим выражение для многочлена, принимающего в точке х = х_о значение y_о = 1, а в точках х = х₁, х₂,..., х_n - значения y₁ = y₂=... = y_n = 0. Очевидно, что многочлен будет иметь вид

.

Здесь при х = х_о числитель и знаменатель равны, а при х = х₁, х₂,..., х_n - числитель равен нулю.

Теперь построим многочлен F_о (х), принимающий в точке х_о значение y_о и обращающийся в нуль для значений х = х₁, х₂,..., х_n. Учитывая предыдущее построение можно записать

.

Теперь можно записать многочлен F (х) для произвольного значения х_i (i = 0, 1, 2,..., n) принимающего значения F (х_i) = y_i, а во всех остальных точках х ¹ х_i значение, равное нулю

.

Как видно из записи, числитель не будет содержать выражения (х - х_i), а знаменатель - (х_i - х_i), т.е. выражений, обращающих числитель и знаменатель в нуль.

Искомый многочлен будет равен сумме

,

т.е. снова в каждой точке х_i одно из слагаемых принимает нужное значение y_i, а все остальные обращаются в нуль.

В развернутом виде

=

... + .

Полученная формула называется интерполяционной формулой Лагранжа.

Используя формулу Лагранжа запишем многочлен F (х) для разобранного выше примера.

=

= .

Получили тоже самое выражение, что и ранее.

Контрольные вопросы

1. Назначение графического метода обработки результатов;

2. Сущность графического метода обработки результатов;

3. Понятие и назначение функциональной шкалы;

4. Выбор масштаба функциональной шкалы;

5. Сущность аппроксимации методом средних;

6. Сущность аппроксимации методом наименьших квадратов;

7. Принципиальное отличие метода интерполирования от метода наименьших квадратов.

Дата добавления: 2014-12-16