Интерполирование функций

Способы задания функции одной переменной

Понятие функции одной переменной

Функции одной переменной

Рассмотрим два числовых множества X и Y. Правило f, по которому каждому числу хОХ ставится в соответствие единственное число yОY, называется числовой функцией, заданной на множестве Х и принимающей значения во множестве Y.

Таким образом, задать функцию, значит задать три объекта:

1) множество Х (область определения функции);

2) множество Y (область значений функции);

3) правило соответствия f (сама функция).

Например, поставим в соответствие каждому числу его куб. Математически это можно записать формулой y=x³. В этом случае правило f есть возведение числа х в третью степень. В общем случае, если каждому х по правилу f соответствует единственный y, пишут y = f(x). Здесь х называют независимой переменной, или аргументом, а y – зависимой переменной (т.к. выражение типа x³ само по себе не имеет определенного числового значения, пока не указано значение х), или функцией от х. О величинах х и y говорят, что они связаны функциональной зависимостью. Зная все значения х и правило f, можно найти все значения у. Например, если х=2, то функция f(x) =x³ принимает значение у = f(2) =2³ =8.

Существует несколько способов задания функции.

Аналитический способ. Функция f задается в виде формулы y=f(x). Например, y=3cos(x)+2x². Этот способ является преобладающим в математических исследованиях и подробно рассматривается в классическом курсе математики. В географических исследованиях соответствие между переменными величинами x и y не всегда удается записать в виде формулы. Во многих случаях формула бывает неизвестна. Тогда для выражения функциональной зависимости используются другие способы.

Графический способ. На метеорологических станциях можно наблюдать работу приборов-самописцев, регистрирующих величины атмосферного давления, температуры воздуха, его влажности в любой момент времени суток. По полученному графику можно определить значения указанных величин в любой момент времени. Графиком функции y=f(x) называется множество всех точек плоскости с координатами (x, f(x)). График содержит всю информацию о функции. Имея перед собой график, мы как бы «видим» функцию.

Табличный способ. Этот способ является наиболее простым. В одной строке таблицы записываются все значения аргумента (числа), а в другой – значения f(x), соответствующие каждому х. Например, зависимость температуры воздуха (Т) от времени суток (t) в определенный день можно представить таблицей.

t

T, °С

Несмотря на повсеместное внедрение компьютеров, большинство функций, с которыми приходится сталкиваться специалисту-географу в повседневной деятельности, до сих пор представлено в виде табличного или графического задания. Табличные зависимости получаются в результате регистрации результатов опытов, лабораторных анализов, периодических замеров атмосферных или иных физических параметров. К сожалению, по таблице можно найти лишь те значения функции, значения аргумента которых имеются в таблице. В то же время часто возникают задачи, требующие нахождения значения функции для значения аргумента, не входящего в таблицу. Кроме того, этот способ не дает достаточно наглядного представления о характере изменения функции с изменением независимого переменного. От этого недостатка свободны графики, полученные в результате работы автоматических приборов, но и графическое задание не всегда может быть достаточным для дальнейших исследований. Например, такая функция иногда должна в целях исследования протекания природного процесса подвергаться каким-либо математическим операциям, в том числе дифференцированию или интегрированию. Таким образом, во многих случаях важно знать аналитическое задание функции. Так как точного аналитического задания функции, полученной в результате экспериментальной работы, не существует, то для целей исследования применяют следующий прием: функцию, заданную таблично (функцию, заданную графически, всегда можно представить в табличном виде), заменяют на некотором отрезке [a;b] другой функцией – более простой, близкой в некотором смысле к данной и имеющей аналитическое выражение. Существует два основных приема такой замены – интерполирование и аппроксимация функции-таблицы.

Дата добавления: 2014-12-16