Обробка результатів непрямих вимірів

Розглянемо послідовність вимірів і обробки результатів вимірювання на конкретному прикладі. Нехай потрібно визначити густину невеликого металевого циліндра (рис.1.3):

Рис. 1.3

Густина матеріалу , з якого виготовлений циліндр, обчислюється за формулою:

,

де - маса, а - об’єм циліндра.

Якщо - висота, а - діаметр циліндра, то його об’єм:

.

Отже, основна розрахункова формула для визначення густини:

. (1)

Послідовність визначення густини може бути наступною.

Виконуються прямі виміри маси , діаметра і висоти циліндра за методикою, розглянутою в 1.2. Наприклад, маса вимірюється 3-5 разів за допомогою терезів. За результатами вимірювань і подальшої їх обробки отримують значення маси , де - середнє значення маси, а - середня абсолютна похибка визначення маси.

Використовуючи штангенциркуль (або мікрометр) аналогічно проводять вимірювання і отримують значення діаметра і висоти , де , - відповідні середні значення, а і - відповідні середні абсолютні похибки.

Після цього починають послідовність обрахунків густини і відповідних похибок, яку називають обробкою результатів при непрямих вимірах.

1. За розрахунковою формулою визначається середнє значення густини:

.

2. Слід звернути увагу, що в формулу для непрямого визначення густини підставляються величини, що знайдені при прямих вимірах (). Тому похибка непрямого виміру повинна знаходитися через похибки прямих вимірів.

Використовуючи математичний апарат диференціального обчислення, можна показати, що при непрямих вимірах зручніше спочатку знайти відносну похибку: , а потім обчислити середню абсолютну похибку .

Виявляється, що відносна похибка результату дорівнює повному диференціалу натурального логарифма функції, яка визначає залежність даної величини від виміряних величин.

Тому відносну похибку слід обчислювати в такій послідовності:

а) прологарифмувати розрахункову формулу:

.

б) знайти повний диференціал логарифма :

. (2)

в) диференціали в отриманому виразі замінити середніми абсолютними похибками: , , , а величини середніми значеннями

В самому несприятливому випадку всі похибки виміряних величин відхиляються в один бік. При цьому результуюча похибка стає найбільшою з можливих. Хоча це і малоймовірний випадок, але надійність результату буде максимальною. Тому знаки «–» у формулі (2) замінюємо на «+».

Враховуючи вище сказане, найбільшу відносну похибку вимірювання густини можна знайти за формулою:

.

3) Середню абсолютну похибку можна знайти після обчислення відносної похибки за формулою:

.

4) Результат вимірювання записується у вигляді:

, .

Дата добавления: 2014-12-16