Уравнения кинематики манипулятора

Лекция 6

Рисунок 6.1. Система координат схватa

Однородная матрица , определяющая положение i -й системы координат относительно базовой системы координат, представляет собой произведение последовательности однородных матриц преобразования ^i-1A_i и имеет вид:

⁰ T _i = ⁰A _i ¹A _i …^i-1A _i = = = для i =1, 2, …, n,

где - матрица, определяющая ориентацию i -й системы координат, связанной с i -м звеном, по отношению к базовой системе координат. Это верхняя левая подматрица , имеющая размерность 3×3.

р _i - вектор, соединяющий начало базовой системы координат с началом i -й системы координат. Это верхняя правая подматрица матрицы , имеющая размерность 3×1. В частности, при i =6 мы получаем матрицу , которая задает положение и ориентацию схвата манипулятора относительно базовой системы координат. Эта матрица часто используется при описании кинематики манипулятора. Ее называют «матрицей манипулятора».

Положим, что матрица Т имеет следующий вид:

T = = = = ,

где n – вектор нормали к схвату. В случае плоскопараллельного движения пальцев этот вектор перпендикулярен пальцам манипулятора;

s – касательный вектор схвата. Он лежит в плоскости движения пальцев и указывает направление движения пальцев во время открытия или закрытия схвата;

a - вектор подхода схвата. Он направлен по нормали к ладони схвата, (т.е. перпендикулярно плоскости крепления инструмента в схвате);

p - вектор положения схвата. Этот вектор направлен из начала базовой системы координат к началу системы координат схвата, которое, как правило, расположено в точке, являющейся геометрическим центром полностью сжатых пальцев.

Если положение манипулятора в абсолютном пространстве определяется матрицей B, а в схвате манипулятора зафиксирован инструмент, положение которого в системе координат схвата определяется матрицей H, то положение рабочего узла инструмента относительно абсолютной системы координат дается произведением матриц В, ⁰ Т ₀ и Н, т.е.:

. (6-1)

При этом H ≡ , B ≡ .

Решение прямой задачи кинематики для шестизвенного манипулятора является вычислением T =⁰ A ₆ с помощью последовательного перемножения шести матриц ^{i -1} A _{i .} Решение этой задачи приводит к единственной матрице Т при заданных и фиксированных системах координат, где для вращательного сочленения и для поступательного сочленения. Ограничения определяются только физическими пределами изменения для каждого сочленения манипулятора.

Матрица T манипулятора Пума имеет вид:

T = ⁰ A ₁¹ A ₂² A ₃³ A ₄⁴ A ₅⁵ A ₆= , (6-2)

где ;

; ; (6-3) ;

;

; (6-4)

;

;

; (6-5)

;

;

. (6-6)

Например, при имеем

T = ,

что согласуется с выбором системы координат на рис. 5.4.

Из равенств (6-3) – (6-6) видно, что вычисление матрицы манипулятора Т требует обращения к программам вычисления 12 трансцендентных функций, выполнения 40 умножений и 20 сложений в том случае, если производится только вычисление правой подматрицы Т, имеющей размерность 3×3, а вектор n определяется как векторное произведение векторов s и a(n=s×a). Еслиобъединить d₆ с длиной рабочего инструмента, то d ₆=0, а длина инструмента увеличивается на d₆ единиц. Это сокращает объем вычислений до 12 бращений и программ вычисления трансцендентных функций, 35 операций умножения и 16 операций сложения.

Классификация манипуляторов

Манипулятор состоит из последовательности твердых тел (или звеньев), первое из которых соединено с опорной стойкой, а последнее снабжено рабочим инструментом. Каждое звено соединено не более чем с двумя другими так, чтобы не образовывалось замкнутых цепей. Соединение двух звеньев – сочленение – имеет только одну степень свободы. С учетом этого ограничения интерес представляет два типа сочленений: вращательное и поступательное. Вращательное сочленение допускает только вращение вокруг некоторой оси; поступательное сочленение обеспечивает поступательное движение вдоль некоторой оси при отсутствии вращения (поступательное движение с вращением имеет место в винтовых сочленениях). Звенья манипулятора участвуют в относительном движении, в результате которого достигается определенное положение и ориентация схвата или инструмента.

Следовательно, рассматривая манипуляторы как некоторые последовательности сочленений и звеньев, их можно классифицировать по типу используемых сочленений и последовательности их расположения в направлении от опорной стойки к схвату. При таком подходе манипулятор Пума следует отнести к классу 6В, а манипулятор «Электроника» - к классу 2П-В-П-В. Здесь «В» обозначает вращательное, а «П» – поступательное сочленение.

Обратная задача кинематики

В этом разделе рассматривается обратная задача кинематики шестизвенного манипулятора. Необходимо по заданной матрице ⁰ T ₆ положения и ориентации схвата шестизвенного манипулятора и известным параметрам его звеньев и сочленений определить присоединенные параметры манипулятора, обеспечивающие заданное положение схвата.

Для того, чтобы решение обратной задачи кинематики было получено в явном виде, необходимо, чтобы конструкция робота удовлетворяла одному из двух условий:

1. Оси трех смежных сочленений пересекаются в одной точке.

2. Оси трех смежных сочленений параллельны между собой.

Из равенства (4-2) следует вид матрицы манипулятора T:

T ₆= =⁰ A ₁ ¹ A ₂ ² A ₃ ³ A ₄ ⁴ A ₅ ⁵ A ₆. (6-7)

Из равенства (4-7) видно, что матрица T является функцией синусов и косинусов углов Приравнивая элементы матриц в левой и правой частях матричного уравнения (4-7), получаем, например, для манипулятора Пума двенадцать уравнений (4-3) – (4-6) относительно шести неизвестных (присоединенных углов). Поскольку число уравнений превышает число переменных, можно сразу сделать вывод о том, что решение обратной задачи кинематики для манипулятора Пума не единственно. Мы рассмотрим два метода решения обратной задачи кинематики: метод обратных преобразований в эйлеровых координатах и геометрический подход, выгодно отличающийся наглядностью.

Дата добавления: 2014-12-17