КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Лабораторная работа № 2. Анализ систем с применением марковских процессовАнализ систем с применением марковских процессов. Аппарат марковских случайных процессов широко используется при анализе сложных систем управления для описания их поведения при наличии случайных факторов. Пусть имеется случайный процесс, протекающий в системе с возможными состояниями Z0,Z1,…Zi,…Zj.. Обозначим условную вероятность того, что в момент t =t0+T система будет в состоянии Zj,если в момент t0 она была в состоянии Zi через Pij(t0,Т). Дискретный случайный процесс называется марковским, если вероятность Рij(t0,Т) зависит только от i,j,t0,T,т.е только от того, в каком состоянии система была в момент t0 и в какое состояние она перейдет через время Т. Марковским процессом с непрерывным временем называется процесс, у которого переход из одного состояния в другое возможен в любой момент времени. Такой класс процессов широко используется для анализа поведения сложных систем управления. Для описания поведения системы в классе марковских процессов с непрерывным временем необходимо: 1) Ввести понятие состояния системы. 2) Указать все состояния, в которых может находиться система. 3) Составить граф состояний, т.е. указать пути возможных непосредственных переходов системы из состояния в состояние. 4) Для расчета переходных процессов в системе указать, в каком состоянии находится система в начальный момент времени. 5) Для каждого вожможного перехода на графе указать интенсивность потока событий, переводящих систему из состояния Zi в состояние Zj. Обычно интенсивности определяютьс яэкспериментально. Исчерпывающей характеристикой марковского процесса являеться совокупность вероятностей, Pj(t) того, что процесс в момент времени t будет находиться в состоянии Zj . Эти вероятности определяються на основе решения дифференциальных уравнений: Система (1) определяет переходной процесс в припущенні, что начальний состояние -P0. Если число состояний системы n-конечно и из каждого состояния графа можно перейти в любое другое состояние, то такая система будет иметь предельный стационарный режим.Так, система Рис.1а имеет стационарный режим, а система Рис. 1б - не имеет.
а) Рис 1. б)
С практической точки зрения представляет интерес определение вероятностей состояний системы в предельном стационарном режиме. Для их расчета используется система алгебраических уравнений, получающаяся из (1) путем приравнивания к нулю производных:
Система (3) является линейно зависимой, поэтому ее следует дополнить условием: Пример. Два абонента А и В работают с одним информационным центром. В определенный момент времени центр может обслуживать только одного абонента. Абонент А имеет более высокий приоритет, поэтому, если от А приходит заявка, обслуживание В прекращается до окончания обслуживания А. 1. Рассчитать вероятности возможных состояний данной системы, если известны интенсивности потоков событий, переводящих систему в соседние состояния. 2. Выяснить, будет ли система работать эффективно, если для этого необходимо, чтобы потери времени абонента В на ожидание составили бы не более 50% времени его обслуживания. 3. Установить какие параметры и каким образом должны измениться, чтобы повысилась эффективность обслуживания абонента В? Введем понятие состояния системы. Состояние системы определяется состоянием абонентов А и В. Для абонента А возможны два состояния: 0 - отсутствие заявки; 1 - обслуживание. Для абонента В возможны три состояния: 0 - отсутствие заявки; 1 - обслуживание; 2 - ожидание обслуживания. Тогда состояния системы следующие: (0,0) - 1 - отсутствие заявок от А и В; (0,1) - 2 - отсутствие заявки от А и обслуживание В; (1,0) - 3 - обслуживание А и отсутствие заявки от В; (1,2) - 4 - обслуживание А и ожидание обслуживания для В.
Граф состояния системы имеет вид: Рис.2
В соответствии с (3) составим систему алгебраических уравнений для определения вероятностей состояний Pi i= 1,4:
-(l12+l13)Р1+l21Р2+l31Р3=0 -(l21+l24)Р2+ l42Р4+l12Р1=0 (5) -(l31+l34)Р3+l13Р1=0 -l42Р4+l24Р2+l34 Р3=0
Систему уравнений можно составить непосредственно по графу Рис.2, пользуясь правилом: для каждого i-го состояния составляется одно уравнение, причем исходящие из i интенсивности l берутся со знаком минус и умножаются на Pi; входящие в i интенсивности умножаются со знаком плюс на вероятности тех состояний, из которых они исходят. Допустим интенсивности для графа рис.2 заданы и равны: ; ; ; ; . Тогда система (5) примет вид: Эта система линейно-зависимых уравнений. По этому одно уравнение (неважно какое) системы необходимо заменить условием (4): (6) Решая систему (6), например, методом Гаусса, получим: ; ; ; . Отношение времени ожидания и времени обслуживания абонента В определяется отношением вероятностей состояний Р4 и Р2: Т.к. это отношение больше 0,5 (50%), то можно сделать вывод о неэффективности работы системы. Чтобы уменьшить отношение необходимо уменьшить интенсивность потоков и или увеличить интенсивность потоков и .
Задание.1. Для заданного графа состояний системы и интенсивностей переходов рассчитать вероятности состояний системы. Для выделенных на графе вероятности и интенсивности определить: какие значения должна принимать интенсивность , чтобы вероятность не превышала величину а(а - задано). Задание.2.* Составить граф состояний системы аналогичной приведенной в периметре, но с тремя абонентами А,В,С, приоритеты которых имеют вид: А>В>С.
Дата добавления: 2014-11-29; Просмотров: 881; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |