Формулы Френеля

Установив сформулированные закономерности (3.5), из граничных условий можно исключить все показательные множители. В результате останутся уравнения, связывающие комплексные амплитуды [6]:

а’)

(3.9)

б’)

в’)

г’) .

Эти формулы позволяют выразить комплексные амплитуды отражённой и преломлённой волн через комплексные амплитуды падающей волны. Однако решить их достаточно сложно. Поэтому на практике общепринятые формулы выводятся для двух частных случаев, различающихся по поляризации падающей волны.

В большинстве случаев применяемое электромагнитное поле является линейно-поляризованным. Вид поляризации определяется направлением вектора .

Рассмотрим два частных случая: вертикально-поляризованную волну, у которой вектор лежит в плоскости падения; горизонтально-поляризованную волну, у которой вектор перпендикулярен плоскости падения (или, иначе, параллелен границе раздела).

В случае произвольного направления поляризации волну можно разложить на вертикально- и горизонтально-поляризованные волны.

1. Вертикально-поляризованная волна. В данном случае вектор лежит в плоскости падения, следовательно, , перпендикулярен этой плоскости (рис. 3.2). Поэтому

(3.10)

Вектор лежит в касательной плоскости к границе раздела. Вследствие непрерывности тангенциальной составляющей вектора , при переходе границы раздела отражённая и преломлённая волны будут также вертикально-поляризованными, причём векторы и , и остаются параллельными вектору падающей волны. При этом уравнение а’) тождественно удовлетворяется, так как

Уравнение в') переходит в алгебраическое:

(3.11)

или

После подстановки векторов , выраженных через в уравнение г') и выполнения преобразований, получим:

(3.12)

.

Совместное решение уравнений (3.11) и (3.12) даёт:

(3.13)

;

Формулы (3.13) называются формулами Френеля для вертикально-поляризованной волны.

Таким образом, задача решена. При данном значении , амплитуды падающей волны, найдены значения и . Можно также без затруднений найти значения и по соответствующим формулам.

2. Горизонтально-поляризованная волна (рис. 3.3). В данном случае вектор перпендикулярен к плоскости падения и, следовательно,

(3.14)

= 0

Рис. 3.3

Рис. 3.2

Вектор лежит в касательной плоскости к границе раздела. Вследствие непрерывности тангенциальной составляющей вектора , отражённая и преломлённая волны будут также горизонтально-поляризованы, причём векторы и остаются параллельными вектору . При этом уравнение б’) тождественно удовлетворяется, так как

;

Уравнение г’) переходит в алгебраическое:

(3.15)

После подстановки векторов , выраженных через в уравнение в') и выполнения преобразований, получим:

(3.16)

Совместное уравнение (3.15) и (3.16) даёт:

(3.17)

Формулы (3.17) называются формулами Френеля для горизонтально-поляризованной волны.

Таким образом, задача решена. При заданном значении , амплитуды падающей волны, найдены значения и . Можно найти также и значения и по соответствующим формулам. Формулы (3.13) дают соотношения между комплексными амплитудами векторов магнитного поля, а формулы (3.17) между комплексными амплитудами векторов электрического поля. Это объясняется тем, что тангенциальные составляющие поля при переходе границы раздела в случае горизонтальной поляризации (векторы , и ) оказываются параллельными друг другу, а при вертикальной поляризации этим свойством обладают векторы магнитного поля всех трёх волн.

Для тангенциальных составляющих имеет место соотношение

(3.18)

Отношение

(3.19)

называется коэффициентом отражения. Коэффициент отражения – это отношение комплексной амплитуды тангенциальной составляющей вектора , отражённой волны к комплексной амплитуде тангенциальной составляющей вектора падающей волны.

Таким образом, в случае вертикально-поляризованной волны коэффициент отражения будет:

(3.20)

;

в случае горизонтально-поляризованной волны коэффициент отражения будет:

(3.21)

В этих формулах ; – характеристические сопротивления 1-й и 2-й сред.

Отношение

(3.22)

называется коэффициентом преломления. Коэффициент преломления – это отношение комплексной амплитуды тангенциальной составляющей вектора преломлённой волны к комплексной амплитуде тангенциальной составляющей ректора падающей волны.

В силу непрерывности тангенциальных составляющих вектора всегда выполняется условие

(3.23)

.

(3.24)

Разделив все члены равенства (3.23) на , получим:

В случае нормального падения волны на границу раздела .

В этом случае

(3.25)

Дата добавления: 2014-11-28