Формы математического описания линейных СУИМ

И ХАРАКТЕРИСТИКИ СУИМ

Математическое описание

Проектирование и исследование характеристик (показателей качества) спроектированных СУИМ, решение задач синтеза и анализа СУИМ базируется на знании математических моделей, как объектов, так и устройств управления.

Математические модели технических средств и систем автоматизации весьма многообразны, и могут быть достаточно сложными. В частности на сложность электромеханических систем управления исполнительными механизмами (ЭМСУ) влияет множество факторов: тип электропривода, СПЭ, принцип и реализация управления, число, тип и последовательность звеньев (кинематических пар), компоновочные схемы размещения приводов механических подсистем и конструкции передаточных механизмов, наличие устройств уравновешивания и динамической развязки движений и др.

Между тем, для подавляющего большинства элементов СУИМ математические модели уже разработаны, причем в разных формах и с разной степенью детализации (с различными допущениями), и подробно рассматриваются в соответствующих дисциплинах – механике, электротехнике, электромеханике, термодинамике и т.п. Математические модели основных элементов СУИМ рассмотрены в гл. 4.

Большинство форм описания и методов исследования СУИМ базируется на теории линейных систем. Если хотя бы один элемент СУИМ содержит нелинейный элемент, то такая система является нелинейной и требует применения теории нелинейных систем [6-9].

СУИМ – динамические системы, содержащие как минимум один вход и один выход и обеспечивающие преобразование входных (задающих и возмущающих) воздействий в выходные (управляемые) переменные. В этом преобразовании могут участвовать достаточно большое число динамических элементов, называемых звеньями САУ [9,10]. Характерной особенностью звеньев САУ является однонаправленность, т.е. отсутствие или ничтожное влияние выходных сигналов на входные. Данное обстоятельство позволяет осуществить декомпозицию ОУ и СУИМ в целом на ряд достаточно простых динамических звеньев, описываемых хорошо известными в математике методами. При этом физическая природа входных и выходных переменных звеньев может быть различной. Например, входными (управляющими) воздействиями электродвигателя постоянного тока являются напряжения на обмотках якоря и возбуждения, а выходными переменными – вращающий момент на валу двигателя и скорость его вращения, т.е. осуществляется преобразование электрической энергии в механическую.

Для составления уравнений элементов СУИМ используют фундаментальные законы природы, описываемые уравнениями Ньютона, Лагранжа, Ома, Кирхгофа и т.п. При этом для описания элементов СУИМ используют различные формы, в частности:

1. функциональные схемы той или иной степени детализации, в том числе схемы замещения;

2. обыкновенные дифференциальные уравнения (для объектов с сосредоточенными параметрами) или дифференциальные уравнения в частных производных (для объектов с распределенными параметрами);

3. операторные уравнения, передаточные функции и матрицы, т.е. функции комплексной переменной s или оператора p Лапласа (в непрерывных СУИМ), функции комплексной переменной z (в дискретных СУИМ);

4. структурные схемы;

5. сигнальные графы;

6. частотные характеристики и диаграммы на их основе;

7. векторно-матричные уравнения;

8. схемы пространства состояний и др.

Синтез и анализ СУИМ осуществляют в частотной или временной области, что предполагает применение различных методов математического описания элементов СУИМ.

Частотные методы синтеза и анализа применяют к линейным стационарным объектам и системам (непрерывным и дискретным) практически любой сложности. Сущность частотных методов исследования заключается в оценке устойчивости и качества по установившейся реакции системы на гармоническое воздействие различной частоты (оцениваются изменение амплитуды и фазовый сдвиг выходного сигнала относительно входного). При этом переход от операторной формы представления к частотной осуществляется простейшей заменой оператора p на в операторных уравнениях непрерывных СУИМ и оператора z на в операторных уравнениях дискретных СУИМ. Наиболее часто для описания и исследования СУИМ частотными методами применяют:

- логарифмические амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики (ЛАЧХ и ЛФЧХ) разомкнутой системы, т.е. диаграмму Боде (позволяют оценить абсолютную и относительную устойчивость – запасы устойчивости по модулю и фазе замкнутой системы, полосу пропускания контура, частоту резонанса и другие характеристики);

- амплитудно-фазовую характеристику (АФХ) разомкнутой системы – диаграмму Никольса (позволяет оценить абсолютную и относительную устойчивость замкнутой системы и косвенно ряд других показателей);

- диаграмму (годограф) Найквиста разомкнутой системы (позволяет оценить абсолютную и относительную устойчивость замкнутой системы).

Временные методы синтеза и анализа СУИМ применимы к линейным и нелинейным, стационарным и нестационарным, непрерывным и дискретным, одно- и многомерным СУИМ любой сложности. Сущность временных методов анализа заключается в получении прямых или косвенных показателей качества управления по реакции СУИМ на типовые тестовые воздействия (обычно в виде единичной ступенчатой функции).

Прямые оценки качества регулирования определяют по виду переходной характеристики (время регулирования, время нарастания регулирования, перерегулирование, время запаздывания, частота установившихся колебаний, коэффициент затухания колебаний).

К косвенным оценкам качества СУИМ относят обычно интегральные, в том числе интегральные квадратичные критерии. Они же, как уже отмечалось, лежат в основе формальных оптимизационных процедур синтеза.

При исследовании СУИМ временными методами применяют решение тем или иным методом систем обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих элементы и связи между ними, относительно заданных переменных с использованием средств вычислительной техники. Наибольшее применение при решении дифференциальных уравнений СУИМ нашли методы Эйлера 1-го порядка, Адамса, Рунге-Кутта 4-го и 5-го порядка, а также метод переходных состояний, позволяющий практически с любой требуемой точностью осуществить переход системы из произвольного начального состояния в следующее, отстоящее на период, заданный в матрице перехода. Последний из методов базируется на векторно-матричном аппарате исследования систем и ориентирован на применении цифровой вычислительной техники (персональных компьютеров) и соответствующих программных систем и математических пакетов расширения.

Заметим, что, хотя между свойствами СУИМ во временной и частотной областях отсутствует прямая связь, по виду частотных характеристик можно во многом судить о поведении системы во временной области. Целесообразность применения того или иного метода применительно к простым СУИМ не всегда очевидна и требует дополнительного анализа. Применительно к сложным СУИМ и АСУТП целесообразность применения временных методов исследования не вызывает сомнений.

Дата добавления: 2014-11-29