Коэффициенты прямолинейной парной корреляции

Если взаимосвязь между признаками изучаемой парой признаков выражается в форме, близкой к прямой, то степень тесноты связи между этими признаками можно рассчитать при помощи коэффициента прямолинейной парной корреляции. В связи с этим целесообразно отметить, что настоящее время имеется много различных способов расчета коэффициента парной корреляции. Каждый способ учитывает характер и взаимосвязей между изучаемыми признаками в статистической совокупности. Доказано, что наиболее точный результат корреляционной тесноты связи между факторным и результативным признаками может быть получен по следующей формуле:

(11.2)

где r _ху – коэффициент парной корреляции между признаком-фактором (х) и признаком – результатом (у); t_x – нормированное отклонение по признаку – фактору; t _y – нормированное отклонение по признаку – результату.

Последовательность расчета коэффициента парной корреляции по формуле 11.2 заключается в следующем:

1. По данным статистической совокупности рассчитывают среднее значение отдельно по признаку – фактору и признаку-результату

2. По этой же совокупности находят индивидуальные линейные отклонения вариант от среднего значения отдельно по признаку – фактору и признаку – результату

3. По каждому признаку отдельно рассчитывают среднее квадратическое отклонения , способы и порядок расчета которых приведен в теме 6.

4. Находят индивидуальные нормированные отклонения отдельно по признаку – фактору и признаку – результату .

5. Рассчитывают произведения нормированных отклонений по признаку – фактору и признаку – результату t _x t _y /

6. Находят сумму произведений полученный нормированных отклонений

7. Рассчитывают среднее произведение нормированных отклонений , которое представляет собой коэффициент прямолинейной парной корреляции.

Целесообразно отметить, что коэффициенты корреляции, также как и корреляционные отношения, обладают стабильным свойством, заключающимся в том, сто пределы колебаний этих показателей могут быть выражены следующим образом: -1< r _ху < 1. Это означает, что коэффициенты корреляции и корреляционные отношения могут колебаться в пределах, не превышающих единицу.

Сокращенный вариант расчета коэффициента парной корреляции между урожайностью сена многолетних трав и годовым удоем коров в 100 сельскохозяйственных предприятиях по формуле 11.3 приведен в табл. 11.1.

Как видно из данных табл. 11.1, полученное среднее произведение нормированных отклонений по признаку – фактору и признаку – результату представляет собой коэффициент парной корреляции между этими признаками. Поскольку этот коэффициент положительный, то взаимосвязь между признаками прямая, а величина коэффициента корреляции (r = 0,7) указывает на среднюю меру зависимости годового удоя одной коровы от урожайности сена многолетних трав.

Необходимо иметь в виду, что абсолютная величина коэффициента корреляции, как и корреляционного отношения может колебаться от 0 до 1, а с учетом направления связи – находится в пределах от 1 до 1. При этом чем ближе коэффициент корреляции к единицы (отрицательной или положительной), тем теснее находится признаки во взаимосвязи.

Расчет коэффициента корреляции по основной формуле 11.2 хотя и дает довольно точный результат, но отличается повышенной трудоемкостью вычисления. Поэтому для измерения степени тесноты связи между факторным и результативным признаками можно рекомендовать формулу, предложенную К. Песоном:

(11.3)

где r _xy – коэффициент прямолинейной парной корреляции; - среднее произведение факторного и результативного признаков: - среднее значение соответственного факторного и результативного признаков, - среднее квадратическое отклонение признака – результата.

Т а б л и ц а 11. 1. Расчет вспомогательных показателей для определения коэффициента парной корреляции

№ п.п.	Признак - фактор	Признак - результат	Произведения нормированных отклонений
Урожайность многолетних трав ц/га	Линейные отклонения урожайности, ц/га	Квадраты линейных отклонений	Нормированные отклонения, ц/га	Годовой удой одной коровы, ц	Линейные отклонения годового удоя, кг	Квадраты линейных отклонений	Нормированные отклонения
	Х				y
		-10		-1,0		-15		-1,5	1,5
		-9		-0,9		-15		-1,5	1,4
		-8		-0,8				-1,0	0,8
...	…	..	…	…	…	…	…	…	…
				2,0				1,5	3,0
Σ		-		-		-		-	70,0
Среднее		-		-		-		-	0,7

При расчете коэффициента прямолинейной парной корреляции по формуле 11.3 в общем виде можно воспользоваться макетом вспомогательной табл. 11.2.

Т а б л и ц а 11.2. Схема расчета вспомогательных показателей для определения коэффициента парной корреляции

№ п.п.	Факторный признак	Результативный признак	Произведение факторного и результативного признаков
Варианты	Линейные отклонения	Квадраты линейных отклонений	Варианты	Линейные отклонения	Квадраты линейных отклонений
	Х			у			ху
	Х1			у1
	Х2			у2
…	…	…	…	…	…	…	…
n	Хn			уn
Σ	ΣХ	-		ΣУ	-		Σху

Допустим, имеется достаточно обширная статистическая информация по 100 фермерским хозяйствам, в т.ч. данные о дозах внесения минеральных удобрений (в д.в.) и урожайности зерновых культур. Необходимо рассчитать коэффициент корреляции и с его помощью оценить тесноту зависимости урожайности зерновых культур от доз вносимых минеральных удобрений. С этой целью проведем вспомогательные расчеты, сокращенный вариант которых приведен в табл. 11.3.

Т а б л и ц а 11.3. Расчет вспомогательных показателей для определения коэффициента парной корреляции

№ п.п.	Факторный признак (х)	Результативный признак (у)	Произведение факторного и результативного признаков
Варианты	Линейные отклонения	Квадраты линейных отклонений	Варианты	Линейные отклонения	Квадраты линейных отклонений
	Х			у
		-61		16,9	-7,0	49,00	946,4
		-59		17,2	-6,7	44,89	997,6
		-54		18,0	-5,7	34,81	1134,0
…	…	…	…	…	…	…	…
…	…	…	…	…	…	…	…
				37,4	13,5	182,25	6844,2
Σ		-			-
Среднее		-		23,9	-	28,81	2891,5

Данные табл. 11.3 позволяют найти необходимые составляющие парного коэффициента корреляции. Прежде всего необходимо рассчитать среднюю дозу удобрений (по формуле средней арифметической простой величины, см. 6.4):

Среднюю урожайность зерновых культур находим также по формуле 6.4.:

Среднее произведение доз удобрений и урожайности зерновых культур рассчитываем следующим образом:

В совою очередь среднее квадратическое отклонение по признаку – фактору (дозам удобрений) рассчитаем по формуле 6.17:

Среднее квадратическое отклонение по признаку-результату (урожайность зерновых культур) найдем также по формуле 6.17:

Теперь, зная необходимые составляющие, рассчитаем коэффициент корреляции по формуле 11. 3:

Это означает, что между урожайностью зерновых культур и дозами минеральных удобрений существует прямая, средней тесноты, зависимость, а на урожайность зерновых культур, кроме минеральных удобрений, оказывают влияние многие другие факторы.

Дата добавления: 2014-11-29