![]() КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Если же , то в силу (2.1) . 3 страница
Доказательство. Разложим определитель П р и м е р 26. Известно, что Решение. По определению векторного произведения П р и м е р 27. Даны точки Решение. Площадь П р и м е р 28. Найти вектор Решение. Пусть вектор
2.8. Смешанное произведение трех векторов
Пусть даны три произвольных вектора Определение. Смешанным произведением трех векторов
Геометрический смысл смешанного произведения раскрывает следующая теорема. Теорема 13. Смешанное произведение Доказательство. Если векторы Пусть векторы
Проекция вектора
Таким образом, правая часть равенства (2.31) с точностью до знака равна объему параллелепипеда, построенного на векторах Если векторы Из этой теоремы следует, что объем параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах
Следствие 1. Для любых трех векторов
Доказательство. Из переместительного свойства скалярного произведения следует Доказанное равенство (2.33) позволяет записывать смешанное произведение трех векторов Следствие 2. Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю. Доказательство. Если векторы компланарны, то, согласно доказанной теореме, их смешанное произведение равно нулю. Если смешанное произведение векторов равно нулю, то по этой же теореме проекция одного из векторов на ось, определяемую векторным произведением двух других векторов, равна нулю, т. е. он параллелен плоскости, в которой лежат два другие вектора. Это означает, что векторы компланарны. Следствие доказано. Следствие 3. Смешанное произведение трех векторов, два из которых совпадают, равно нулю. Доказательство. Если два вектора из трех совпадают, то такие три вектора компланарны и их смешанное произведение равно нулю. Следствие доказано. Теорема 14. Если векторы
Доказательство. Разложим определитель, стоящий в правой части выражения (2.34), по первой строке. Получим: Теорема 15.Пусть даны точки
Доказательство. Преобразуем правую часть (2.35), используя свойства определителей:
Следствие. Объем треугольной пирамиды с вершинами в точках
Доказательство. Если четыре вершины параллелепипеда, не лежащие в одной плоскости, являются вершинами треугольной пирамиды, то объем пирамиды составляет П р и м е р 29. Вершины тетраэдра находятся в точках Решение. Так как объем
Дата добавления: 2014-11-29; Просмотров: 232; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |