Багатогранники 3 Страница

поверхні. Якщо врахувати неперервне переміщення твірної, а відповідно, неперервність і самої поверхні, то можна зробити висновок: через будь-яку точку М поверхні можна провести пару кривих ℓ м і m м.

Сукупність умов, необхідних і достатніх для задання поверхні, називається визначником поверхні. Останній складається з геометричної та алгоритмічної частин. Геометричною частиною визначника поверхні є геометричні фігури, які беруть участь в утворенні поверхні. Алгоритмічна частина – це сукупність правил застосування геометричної частини визначника для утворення поверхні.

Велика кількість різноманітних поверхонь, які використовують в інженерній практиці, потребує їх систематизації. Це особливо важливо в автоматизованому проектуванні при створенні інформаційних систем. В кінематичному способі утворення поверхонь цілком природно в основу систематизації покласти форму твірної лінії і закон її переміщення. Тому за формою твірної розрізняють лінійчаті (твірна – пряма), криволінійні (твірна – крива), за законом переміщення твірної – поверхні обертання, поверхні переносу і гвинтові.

5.2 Поверхні обертання

Поверхні, утворені обертанням твірної лінії ℓ навколо нерухомої осі i, називаються поверхнями обертання (рис.5.3). Геометрична частина визначника поверхні обертання – її вісь та одна твірна. Точки твірної A, B, C, D, E описують кола навколо осі. Ці кола знаходяться в паралельних між собою площинах і називаються паралелями. Найбільше і найменше з цих кіл отримали спеціальні назви – екватор і горло.

Площини, що проходять через вісь обертання, називають меридіональними, а лінії по яких вони перерізають поверхню – меридіанами. Площину, яка паралельна до фронтальної площини проекцій, називають головною меридіональною площиною, а лінію її перерізу з поверхнею обертання – головним меридіаном.

Визначник поверхні обертання буде мати вигляд:

Defθ = (ℓ, i) [A],

де (ℓ, i) – геометрична частина визначника, яка складається з твірної ℓ та осі обертання i;

[ A ] - алгоритмічна частина визначника, яка містить умову, що твірна ℓ обертається навколо осі i.

Рисунок 5.3 - Геометричні характеристики поверхні обертання

Найпростішими прикладами поверхонь обертання є конус, циліндр, сфера, тор.

Зображеннями поверхонь обертання на площинах проекцій є так звані обриси. При паралельному проекціюванні довільної поверхні Φ на площину проекцій Πί деякі проекціювальні прямі будуть дотикатись поверхні Φ і утворювати проекціювальну циліндричну поверхню θ (рис. 5.4). Лінія дотику поверхонь θ і Φ (k), котра може бути просторовою або плоскою кривою, називається контурною лінією, а її проекція ki на площині Πί – обрисом даної поверхні Φ.

Рисунок 5.4 - Утворення обрисів поверхонь

Якщо вісь обертання довільної поверхні займає проекціювальне положення відносно однієї площини проекцій, то обрисові лінії такої поверхні на дві інші площини проекцій будуть мати форму ідентичну формі головного меридіана.

Для створення графічної моделі будь-якої поверхні обертання у вигляді її обрисів за заданими проекціями геометричної частини її визначника достатньо побудувати сукупність паралелей, яку утворює множина точок твірної. Послідовність виконання графічних операцій з побудови графічної моделі поверхні обертання довільного виглядунаведена нижче:

Дано:

1. Визначаємо на твірній m точку, що знаходиться на мінімальній відстані від осі I. Для заданої твірної це буде точка 1 (11,12).

2. Будуємо проекції паралелі (горла), яку утворює внаслідок обертання навколо осі і точка 1.

3. Визначаємо на твірній m точку, що знаходиться на максимальній відстані від осі I. Для заданої твірної це буде точка 2 (21,22). Така точка внаслідок обертання утворить паралель, що матиме назву екватора.

4. Визначаємо на твірній декілька точок та будуємо відповідні проміжні паралелі, які утворюють визначені точки. До таких точок перш за все відноситься точка 3 (31,32).

5. З’єднаємо плавною кривою лінією крайні точки побудованих паралелей, отримуючи таким чином обрис поверхні обертання на фронтальній площині, або головний меридіан. На горизонтальній площині проекцій обрисовими лініями такої поверхні є проекції у вигляді кіл горла та екватора.

Розв’язання будь-якої позиційної задачі з використанням поверхні обертання вимагає знання алгоритму побудови проекцій точок, що належать цим поверхням. Такий алгоритм базується на побудові відповідних проекцій паралелей (або твірних, якщо поверхня лінійчата), на яких знаходиться та чи інша точка. Графічна інтерпретація алгоритму побудови наведена на рис.5.5

Рисунок 5.5 - Побудова точок на поверхнях обертання

Задачі для самостійного розв’язування

Задача №47

Побудувати проекції поверхонь обертання за заданими проекція визначників:

Задача №48

Побудувати відсутні проекції точок за умови їх належності заданим поверхням

а) б)

в) г)

5.3 Поверхні переносу

Поверхні, утворені поступальним рухом твірної за заданою траєкторією, називають поверхнями переносу. Серед значної кількості таких поверхонь найбільш розповсюджені в інженерній практиці:

1. Лінійчаті поверхні з двома напрямними та площиною паралелізму, або так звані поверхні Каталана (Каталан Е. – бельгійський математик, який досліджував властивості цих поверхонь). В групу поверхонь Каталана, показаних на рис.5.6, входять гіперболічний параболоїд, коноїд, циліндроїд. Всі перелічені поверхні утворюються внаслідок поступального руху прямої лінії, яка по всіх своїх положеннях перетинає дві напрямні лінії m і n залишаючись паралельною площині α, що і отримала назву „площина паралелізму”. У гіперболічного параболоїда напрямні лінії – дві мимобіжні прямі (див.рис.5.6 а), у коноїда – одна напрямна пряма, інша крива (див. рис.5.6,б), у циліндроїда напрямні лінії – криві (див. рис.5.6,в)

а) б)

в)

Рисунок 5. 6 - Поверхні Каталана

Окремим випадком гіперболічного параболоїда є площина, яка утворюється, коли напрямні лінії m і n перетинаються або паралельні між собою. Перелічені поверхні з площиною паралелізму є різновидом поверхонь з напрямною площиною. Тому визначник таких поверхонь буде мати вигляд:

Defθ = (ℓ, m, n, α) [A],

де [A] – алгоритмічна частина, що містить в собі характеристику руху прямолінійної твірної ℓ, яка при всіх положеннях зберігає постійний кут φ (для циліндроїда, коноїда та гіперболічного параболоїда кут складає 0˚) відносно напрямної площини α. Поверхні Каталана на прямокутних проекціях задають у вигляді відповідних проекцій каркасу – сукупності твірних.

Утворення прямокутних проекцій циліндроїда коли напрямною площиною є площина окремого положення Σ, а напрямні лінії є плоскі криві m і n, показано на рис. 5.7.

Рисунок 5.7 - Утворення прямокутних проекцій циліндроїда

Послідовність побудови проекцій лінійного каркаса поверхні Каталана (коноїда) за заданими проекціями напрямних ліній m (m1, m2) і n (n1,n2) та площини паралелізму α (α2) наведено нижче:

1. За умови площина паралелізму α (α2) займає фронтально-проекціювальне положення. Тому фронтальну проекцію першої лінії каркаса ℓ2 (1222) будуємо паралельно відповідній фронтальній проекції площини паралелізму α (α2). Горизонтальну проекцію лінії ℓ визначаємо шляхом побудови горизонтальних проекцій точок 1 і 2, які належать напрямним прямим m і n:

2. Наступну лінію каркаса будуємо аналогічно: починаємо з проведення

її фронтальної проекції (32,42), паралельно проекції площини паралелізму α (α2), а потім визначаємо за лініями зв’язку її горизонтальну проекцію (31,41):

3. Будуємо необхідну за щільністю множину ліній каркаса.

4. Для наочності виділяємо першу і останню лінії каркаса суцільними основними товстими лініями креслення. Визначаємо видимість ліній каркаса відносно площин проекцій шляхом використання штрихових ліній креслення:

2. Лінійчаті поверхні з однією напрямною (торси). В групу входять поверхні з ребром звороту, циліндрична поверхня, конічна поверхня. Торсом називають поверхню, над якою можна здійснити процес суміщення всіма її точками з площиною без складок та розривів. Такі поверхні ще називають розгортними поверхнями. Характерною ознакою розгортних поверхонь є те, що їх прямолінійні твірні перетинаються. Розгортну лінійчату поверхню можна уявити собі як граничний стан гранної поверхні з гранями, ширина яких наближається до нуля. Тому така поверхня може бути, як багатогранник, розгорнута на площину. В загальному вигляді розгортна поверхня утворюється як неперервна множина дотичних {ℓі } до просторової кривої лінії a і називається торсом (рис. 5.8).

Рисунок 5.8 - Формоутворення торсової поверхні загального виду

Криву a називають ребром звороту торса.

Найпростішими окремими випадками торса є конічна і циліндрична поверхні, у яких ребро звороту стягується в точку. У конічної поверхні, яка показана на рис.5.9,а, це точка S – його вершина, у циліндричної поверхні (див. рис.5.9,б – нескінченно віддалена точка перетину прямолінійних твірних S∞.

а) б)

Рисунок 5.9 - Окремі випадки торсових поверхонь

Плоску криву m (див. рис5.8 та рис.5.9), яка утворюється внаслідок перерізу торсових поверхонь площиною, називають напрямною лінією.

Визначник цієї групи поверхонь має вигляд:

Defθ = (ℓ, а) [A],

де [A] – алгоритмічна частина, яка містить умову, що твірна ℓ при русі торкається ребра звороту а, або його перетворень у вигляді точок S та S∞.

Для задання торсової поверхні загального вигляду на прямокутних проекціях достатньо задати відповідні проекції її визначника - ребра звороту n (n1,n2) та побудувати сукупність прямокутних проекцій прямих, що утворюють лінійчатий каркас поверхні, показаної на рис. 5.10.

Рисунок 5.10 -Утворення прямокутних проекцій торсової поверхні загального вигляду

Рисунок 5.11 - Утворення прямокутних проекцій еліптичного конуса

Якщо напрямну лінію m прийняти замкнуту плоску криву, то тіло, обмежене циліндричною поверхнею, має назву циліндра, який показано на рис. 5.12.

Рисунок 5.12 - Утворення прямокутних проекцій еліптичного циліндра

3. Поверхні паралельного переміщення. В групу таких поверхонь входять поверхні, що утворюються внаслідок поступального руху твірної лінії ℓ, одна з точок якої переміщується вздовж напрямної лінії m, а всі інші здійснюють паралельне переміщення. Визначник поверхонь паралельного переміщення, яка показана на рис. 5.13, має вигляд:

Defθ = (ℓ, m) [A],

де [A] – алгоритмічна частина, яка складається з умови паралельного переміщення точок твірної ℓ.

Рисунок 5.13 - Формоутворення поверхні паралельного переміщення

На прямокутних проекціях поверхні паралельного переміщення задають у вигляді проекцій їх визначника: сукупності відповідних проекцій напрямної лінії та твірних ліній. На рис. 5.14 показана поверхня паралельного переміщення, утворена незамкненою кривою лінією ℓ.

Рисунок 5.14 - Утворення прямокутних проекцій поверхні паралельного переміщення

Поверхня паралельного переміщення може бути утворена замкненою кривою лінією. Такі поверхні, приклад якої показано на рис.5.14, відносять до каналових поверхонь.

Рисунок 5.15 - Утворення прямокутних проекцій поверхні паралельного переміщення з замкненою твірною лінією

Задачі для самостійного розв’язування

Задача №49

Побудувати проекції каркасів поверхонь переносу за заданими проекціями їх визначників:

а) гіперболічного параболоїда;

б) коноїда;

в) циліндроїда;

г) поверхні паралельного переміщення.

а) б)

в) г)

Задача №50

Побудувати відсутні проекції точок за умови їх належності:

а) еліптичному конусу; б) еліптичному циліндру.

а) б)

Задача №51

Побудувати проекції лінійчатих поверхонь переносу з ребром звороту: а) еліптичного циліндра; б) еліптичного конуса.

а) б)

5.4 Задачі інцидентності на кривих поверхнях

Такими задачами за аналогією із задачами інцидентності на гранних поверхнях вважають задачу побудови проекцій перерізів кривих поверхонь площинами окремого положення і задачу побудовинаскрізних отворів, трактуючи їх як задачі визначення проекцій сукупності точок, що одночасно належать кривій поверхні та заданій площині або отвору.

Геометричною фігурою, яка визначає переріз будь-якої кривої поверхні, є плоска крива лінія. На рис. 5.16 показано конус обертання, перерізаний фронтально-проекціювальною площиною β. Утворена лінія перерізу при такому розташуванні січної площини відносно осі обертання є еліпсом.

Рисунок 5.16 - Формоутворення перерізу конуса

На рис. 5.17,а показано побудову проекцій окремих точок – 1 і 2, що належать фігурі перерізу конуса обертання фронтально-проекціювальною площиною β(β2). Оскільки задана площина займає проекціювальне положення, то фронтальні проекції цих точок 1(12) і 2(22) знаходяться на виродженій проекції площини β(β2) в межах фронтальної проекції конуса. Горизонтальна проекція точки 1 (11) побудована за умови її належності прямій твірній SA, горизонтальна проекції точки 2 (21) - за умови її належності паралелі радіуса R. На рис. 5.17,б показано побудову сукупності точок, що складають фігуру перерізу. Тобто, горизонтальні проекції шуканих точок перерізу визначені як точки, що належать лінійчатій поверхні обертання, і сполучені між собою ділянками довільних опуклих кривих.

а) б)

Рисунок 5.17 - Прямокутні проекції перерізу конуса

Задача побудови проекцій наскрізних отворів в кривих поверхнях є похідною від описаної вище задачі побудови перерізу, оскільки її розв’язування теж базується на побудові проекцій точок та ліній за умови їх належності заданій кривій поверхні. На рис. 5.18 показано формоутворення прямокутних проекцій наскрізного отвору в циліндричній поверхні.

Рисунок 5.18 - Призматичний отвір в циліндрі

Фронтальна проекція такого отвору має вироджену проекцію у формі чотирикутника. Горизонтальна проекція отвору, за умови належності точок, які його утворюють, поверхні циліндра, збігається з виродженою проекцією циліндра.

На рис. 5.19 показано утворення прямокутних проекцій призматичного отвору в конусі обертання, трактуючи цю задачу як задачу побудови проекцій сукупності точок, які належать лінійчатій поверхні обертання – конусу, тобто за допомогою відповідних твірних.

Рисунок 5.19 - Призматичний отвір в конусі

Побудова проекцій циліндричного отвору в конічній поверхні показано на рис. 5.19. Проекція кожної його точкипобудована за допомогою паралелей, яким належать ці точки.

Рисунок 5.19 - Циліндричний отвір в конусі

Задачі для самостійного розв’язування

Задача №52

Побудувати проекції ліній перерізів поверхонь площинами окремого положення

а)

б) в)

г) д)

е) ж)

Задача №53

Побудувати проекції наскрізних отворів

а) б)

в) г)

д) е)

ж) з)

5.5 Контрольний тест до інформаційного модуля 5

1. Які з показаних поверхонь відносяться до поверхонь обертання?

а) б) в)

2. На якому рисунку показано поверхню Каталану?

а) б) в)

3. На якому рисунку точка А належить поверхні?

а) б) в)

4. На якому рисунку лінія ℓ належить поверхні?

а) б) в)

5. На якому рисунку січна площина перетинає задану поверхню по еліпсу?

а) б) в)

ІНФОРМАЦІЙНИЙ МОДУЛЬ 6

ПОЗИЦІЙНІ ЗАДАЧІ НА ПРЯМОКУТНИХ ПРОЕКЦІЯХ ПОВЕРХОНЬ

6.1 Третя позиційна задача

Третя позиційна задача – це задача на перетин поверхні з площиною. Якщо площина займає проекціювальне положення, то одна з проекцій лінії перетину збігається із слід-проекцією площини в межах заданої поверхні. Далі розв’язування зводиться до побудови інших проекцій точок, що належать поверхні (див. тему 5). Якщо площина займає загальне положення, то для розв’язування задачі треба застосувати спеціальні методи, наприклад, метод заміни площин проекцій. При цьому додаткова площина вводиться таким чином, щоб задана площина перетворилася в проекціювальну.

Рисунок 6.1 – Побудова лінії перетину циліндра площиною загального положення (наочне зображення)

Приклад розв’язування (рис.6.1, 6.2):

1) вводимо додаткову площину проекцій X₁₄, що перпендикулярна до горизонтальної проекції горизонталі_, h₁;

2) проекціюємо циліндр на додаткову площину Π₄;

3) проекціюємо площину на додаткову площину Π₄;

4) визначаємо лінію перетину, проекція якої збігається з проекцією пло-щини на Π₄ в межах проекції циліндра (1₄ – 3₄);

5) знаходимо проекції точок, що належать даній лінії, послідовно на Π₁ та Π₂, враховуючи при цьому, що відстані в Π₁ від Х_1,2 до відповідної проекції і відстані в Π₄ від Х _1,4 до відповідної проекції рівні між собою;

6) обов’язково визначаємо точки 2 і 5, оскільки саме вони визначають границю видимості на Π₂.

Рисунок 6.2 – Побудова лінії перетину циліндра площиною загального положення (проекційне креслення)

Необхідно відмітити, що введена допоміжна площина проекцій може бути перпендикулярна як до Π₁, так і до Π₂. При цьому необхідно враховувати складність проекціювання також і самої поверхні.

У випадках, якщо поверхнею є конус, сфера та таке ін., необхідно будувати також і горизонтальну проекцію лінії перетину поверхні з площиною, використовуючи при цьому твірні або паралелі.

Задачі для самостійного розв’язування

Задача № 54

Побудувати лінію перетину

поверхні конуса площиною α.

Задача № 55

Побудувати лінію перетину

поверхні тора площиною β.

Задача № 56

Побудувати лінію перетину

поверхні конуса площиною α(a║b).

Задача № 57

Побудувати лінію перетину

поверхні сфери площиною β (f⁰∩h⁰).

Задача № 58

Побудувати лінію перетину

піраміди площиною α (f⁰∩h⁰).

Задача № 59

Побудувати лінію перетину

поверхні обертання площиною,

що задана трикутником.

6.2 Четверта позиційна задача

В загальному випадку ця задача формулюється так: визначити проекції точок перетину лінії (кривої або прямої) з поверхнею. Розглянемо алгоритми розв’язання задачі, коли необхідно визначити проекції точок перетину прямих ліній різного положення з поверхнями.

Алгоритм 1 - Пряма займає проекціювальне положення.

При такому розташуванні прямої відносно системи площин проекцій одна проекція шуканих точок збігається з виродженою проекцією самої прямої, а дві інші визначають за умови належності поверхні, яку перетинає пряма. Тобто, алгоритм реалізовує принцип одночасної належності шуканих точок двом геометричним фігурам - проекціювальній прямій та поверхні. На рис.6.3 показано циліндричну поверхню і пряму ℓ, яка займає фронтально-проекціювальне положення та перетинає циліндр в точках K і L. Тому фронтальні проекції K2 і L2 шуканих точок перетину лінії ℓ з циліндричною поверхнею збігаються з фронтальною проекцією заданої прямої лінії ℓ2. Горизонтальні проекції K1 і L1 визначені за умови належності точок відповідним твірним циліндра.

Дата добавления: 2014-11-29