Прогноз

Визначення матриці S.

Перевірка гетероскедастичності.

Поняття гетероскедастичності та її наслідки.

План

Тема 4. Узагальнений метод найменших квадратів

4.Узагальнений метод найменших квадратів (метод Ейткена).

1. Передумови використання методу найменших квадратів на практиці можуть порушуватися.

Розглянемо особливості економетричного моделювання, коли порушується умова, згідно з якою дисперсія залишків лишається незмінною для кожного спостереження.

Якщо дисперсія залишків стала для кожного спостереження, тобто M(uú)= E, то ця її властивість називається гомоскедастичністю.

Якщо дисперсія залишків змінюється для кожного спостереження або групи спостережень, тобто M(uú)= S, то це явище називається гетероскедастичністю.

Якщо існує гетероскедастичність залишків, тоді оцінки параметрів моделі, знайдені за методом найменших квадратів будуть незміщеними, обгрунтованими, але неефективними.

Можливість перевірки припущення про наявність гетероскедастичності залежить від природи вхідних даних. Існують такі методи перевірки гетероскедастичності для різних вхідних даних:

1)перевірка гетероскедастичності на основі μ – критерію застосовується тоді, коли вихідна сукупність спостережень велика;

2) коли сукупність спостережень невелика, тоді застосовується параметричний тест Гольфельда-Квандта;

3)непараметричний тест Гольфельда – Квандта базується на числі піків у величини залишків після упорядкування спостережень за x_ij;

4)тест Глейсера розглядає регресію абсолютних значень залишків ׀u_i׀, що відповідають регресії найменших квадратів, як певну функцію від x_j, де x_j – та незалежна змінна, яка відповідає зміні дисперсії .

У специфікації класичної економетричної моделі значення l₁ вектора відхилень L незалежні між собою і мають стaлу дисперсію, тобто

.

Цю властивість відхилень називають гомоскедастичністю і вона є однією з обов'язкових умов для застосування методу найменших квадратів при оцінюванні параметрів моделі.

Проте ця властивість може виконуватись лише тоді, коли відхилення є помилками вимірювання в спостереженнях.

Якщо відхилення акумулюють загальний вплив неврахованих у моделі факторів, то дисперсія залишків змінюється для кожного спостереження або групи спостережень, тобто:

, (4.1)

де лишається невідомим параметром, а S - додатно визначена діагональна матриця. Таке явище називають гетероскедастичністю.

За наявності гетероскедастичності оцінки параметрів моделі методом найменших квадратів будуть незміщеними, обгрунтованими, але неефективними.

Якщо відхилення парної лінійної моделі пропорційні до величини фактора X, то

Y = a₀ – a₁X – LX

і для оцінювання параметрів методом найменших квадратів достатньо цю рівність поділити на X, що приводить до моделі вигляду:

,

тобто практично змінює специфікацію моделі.

У випадку економетричної моделі з багатьма факторами таке перетворення значно ускладнюється.

2. Для перевірки наявності гетероскедастичності використовуються такі методи: критерій m, параметричний тест Гольдфельда – Кванта, непараметричний тест Гольдфреда — Кванта, тест Глей сера.

Критерій m. Застосовується при великій вихідній сукупності спостережень і його алгоритм складається з п’яти кроків.

Крок 1. Вихідні дані показника Y розбиваються на k груп згідно зі зміною рівня величини Y (r = 1,2…k).

Крок 2. Для кожної групи спостережень обчислюється сума квадратів відхилень:

. (4.2)

Крок 3. Визначається сума квадратів відхилень для всієї сукупності спостережень:

.

Крок 4. Обчислюється параметр а за формулою:

, (4.3)

де n —Квандта загальна сукупність спостережень; n_г – кількість спостережень r-ї групи.

Крок 5. Обчислюється критерій m = -2 lnа, який наближено відповідає розподілу χ². Якщо m < χ²_тавл. при вибраному рівні довіри і ступені вільності k - 1, то гетероскедастичність відсутня.

Параметричний тест Гольдфельда - Квандта застосовується до кожної сукупності спостережень, коли дисперсія відхилень зростає пропорційно до квадрата одного із значень факторів моделі:

Y = AX + L тобто, .

Цей тест також складається з п’яти 5 кроків.

Крок 1. Вихідні дані спостережень впорядковуються відповідно до величини елементів фактора X₁, який може викликати зміну дисперсії відхилень.

Крок 2. Відкинути с спостережень, які містяться в центрі вектора X₁. Якщо n − кількість елементів Х_j, то для визначення с використовують оптимальне співвідношення:

(4.4)

Крок 3. Якщо n – c спостережень утворюють дві сукупності спостережень об'єму n₁ та n₂, то для кожної з них будують економетричну модель на основі методу найменших квадратів (m − кількість факторів моделі).

Крок 4. Знаходиться сума квадратів відхилень для кожної моделі:

та .

Крок 5. Обчислюється критерій

,

який в разі виконання гіпотези про гетероскедастичність відповідає F – розподілу з та ступенями вільності.

Значення R порівнюється з табличним значенням F статистики при вибраному рівні надійності і ступенях вільності k₁ та к₂.

Якщо R<F_табл., то гетероскедастичність відсутня.

Непараметричний тест Гольдфреда — Квандта базується на кількості піків величини відхилень після упорядкування спостережень по Х_ij.

Якщо для усіх спостережень х_ij відхилення розділяються приблизно однаково, то дисперсія їх є однорідною, в протилежному випадку дисперсія змінюється, тобто є гетероскедастичність.

Тест Глейсера дозволяє розрізняти випадки чистої і змішаної гетероскедастичності. Чистій гетероскедастичності відповідають значення параметрів моделі а₀ = 0, а₁ ≠ 0, а змішаної: а₀ ≠ 0, а₁ ≠ 0.

Тест Глейсера базується на побудові регресивної функції, що характеризує залежність модуля величини відхилень від фактора X_j, який може викликати зміну дисперсії відхилень.

Аналітична форма регресійних функцій може мати вигляд:

або .

Рішення про відсутність гетероскедастичності приймається на основі значущості оцінок а₀ та а₁.

3.Коли дисперсії відхилень змінні, тобто визначаються рівністю (4.1), треба визначити матрицю S, яка внаслідок відсутності коваріації між відхиленнями повина мати вигляд

(4.5)

Значення λ_i знаходять залежно від висунутої гіпотези відносно дисперсії відхилень:

1) якщо дисперсія відхилень пропорційна до зміни х_І, тобто

тоді ;

2)якщо дисперсія відхилень пропорційна до зміни x²_ijтобто

тоді ;

3) якщо дисперсія відхилень пропорційна до зміни квадрата модуля відхилень,тобто , тоді

4. За наявності гетероскедастичності для оцінки параметрів моделі використовують метод Ейткена.

Нехай розглядається економетрична модель

Y = AX + L. (4.6)

Коли .

За методом Ейткена оцінки А вектора А знаходять за формулою:

(4.7)

Ця оцінка є незміщеною лінійною оцінкою А(параметрів моделі), яка має найменшу дисперсію відхилень і матрицю коваріацій:

. (4.8)

За наявності гетероскедастичності оцінки А параметри економетричної моделі, знайдені узагальненим методом найменших квадратів, будуть ефективнішими оцінок, які можна одержати звичайним методом найменших квадратів.

Дисперсія відхилень:

. (4.9)

5.При оцінюванні параметрів економетричної моделі методом Ейткена проблема прогнозування потребує спеціального дослідження.

Найкращий лінійний незміщений прогноз визначається із співвідношення

, (4.10)

де W = М(L₀L^Т), L_о − значення відхилень у прогнозований період, V = S. Величина W^TV^-1L визначає відхилення прогнозованого періоду L_о, її можна вважати як помилку прогнозу на підставі моделі .

Дата добавления: 2014-12-07