Где – ковариация ценных бумаг i и j

В качестве целевой функции в данной задаче выступает минимум дисперсии

² = W_i * W_j, min

В качестве ограничения выступаетсредняя доходность портфеля

R_р = R_iW_i,

где R_i, W_i– доходность и удельный вес включенной в портфель i – ой ценной бумаги.

При этом сумма удельных весов бумаг должна быть равна 1, т.е.

W_i. = 1.

Для того, чтобы найти решение такой задачи вводят набор переменных λ₁ и λ₂, называемых множителями Лагранжа и составляется функция Лагранжа:

L = W_i * W_j +λ₁ *( R_iW_i - R_р)+ λ₂ *( W_i. - 1),

где λ₁, λ₂— множители Лагранжа.

Структура портфеля, имеющего минимизирующий риск, определяется решением системы уравнений:

dL/dWi =0

dL/d λ_к, =0.

где к = 1,2.

Данная система уравнений представляет собой модель, позволяющая определить структуру оптимального портфеля.

Пример. Необходимо сформировать портфель из двух ценных бумаг Альфа и Омега, обладающий минимальным риском. Бумаги имеют следующие показатели доходности и риска: R_А = 12%, R_О = 5.1%, = 21.1%, = 8.3%., коэффициент корреляции равен 0.18. Доходность портфеля R_р должна составлять 8.9%. Функция Лагранжа для данной задачи будет иметь вид

L = *W_А² + **W_О² +2*W_А * W_О* + λ₁ *(R_АW_А + R_ОW_О – R_р)+ λ₂ *(W_А+. W_О – 1).

dL/dW_А = 2 *W_А +2* W_О* + λ₁ * R_А + λ₂ = 0

dL/dW₂ = 2 *W_А +2* W_О* + λ₁ * R_О + λ₂ = 0

dL/d λ₁, = R_АW_А + R_ОW_О – R_р = 0.

dL/d λ₂, = W_А+. W_О - 1 =0

Представим данную систему уравнений в матричном виде:

2	2	RА			WА
2	2	RО		*	WО	=
RА	RО				λ1		Rр
					Λ2

2	2	RА			WА
2	2	RО		*	WО	=
RА	RО				λ1		Rр
					Λ2

Если обозначить матрицу через Н, вектор – через А и вектор в правой части – через G, то получим уравнения в матричной форме:

Н*А = G,

А = Н^-1* G.

Рассмотрим далее задачу для случая портфеля состоящего из трех ценных бумаг:

L = *W₁² + *W₂² + *W₃² +2*W₁ * W₂* +2*W₁ * W₃* +2*W₂ * W₃* + λ₁ *(R₁W₁ + R₂W₂ + R₃W₃ – R_р)+ λ₂ *(W₁+. W₂ W₃ – 1).

dL/dW₁ = 2 *W₁ +2* W₂* + 2W₃* + λ₁ * R₁ + λ₂ = 0

dL/dW₂ = 2 *W₁ +2* W₂* + 2W₃* + λ₁ * R₂ + λ₂ = 0

dL/dW₃ = 2 *W₁ +2* W₂* + 2W₃* + λ₁ * R₃ + λ₂

dL/d λ₁, = R₁W₁ + R₂W₂ + R₃W₃ – R_р = 0.

dL/d λ₂, = W₁+. W₂ W₃ - 1.

Представим данную систему уравнений в матричном виде:

2	2	2	R1			W1
2	2	2	R2			W2
2	2	2	R3		*	W3	=
R1	R2	R3				λ1		Rр
						Λ2

Если обозначить матрицу через Н, вектор – через А и вектор в правой части – через G, то получим уравнения в матричной форме:

Н*А = G,

А = Н^-1* G.

Пример. Имеются три акции. Их параметры представлены в таблице

Номер акции	Ri
	0,06 0,09 0,18	0,35 0,42 0,75	= -0,1 = 0,42 = 0,30

Матрица Н G и Н^-1 для данной задачи будет иметь следующий вид

0,7	-0,2	0,6	0,06
-0,2	0,84	1,0	0,09
0,6	1,0	1,5	0,18
0,06	0,09	0,18

R_р

0,416	-0,555	0,138	-3,481	0,723
-0,55	0,74	-0,185	-6,47	1,035
0,139	-0,185	0,046	9,951	-0,759
-3,481	-6,4695	9,951	-12,836	-4,057
0,724	1,035	-0,759	-4,057	-0,399

Удельные веса акций будут равны

W1		- 3,481* Rр +0,723
W2	=	-6,470* Rр +1,035
W3		9,951* Rр +0,759

Если инвестор хочет получить доходность R_р = 12%, то получим: W₁ = 0,305, W₂ = 0,259, W₃ = 0,435.

Рассмотренный пример иллюстрирует вычислительные трудности, связанные с использованием модели Марковица. Так сам Марковиц подсчитал, что анализ 100 ценных бумаг требует вычисления 100 ожидаемых значений доходности, 100 дисперсий и почти 5000 ковариаций. В связи с этим уже 1962 корпорацией IBM была разработана первая компьютерная программа для реализации модели Марковица.

Дата добавления: 2014-12-07