Центрированные средние

В некоторых случаях на практике, возникает ситуации когда в качестве базы для расчета среднего необходимо брать четное число уровней. В таких случаях крайне необходимо определить значения тренда в точках наблюдений. Обычно это делается простым усреднением двух значений тренда.

Например, имеются данные на последний день каждого месяца, скажем с января по декабрь. Простое скользящее среднее 12 точек с весами 1/12*(12) дает значение тренда в середине июля. Поэтому чтобы получить значение тренда на конец июля для сравнения с наблюденным значением в этой точке, мы берем арифметическое среднее значений тренда в середине июля и в середине августа. Легко убедиться в том, что это эквивалентно вычислению 13-месячного среднего с весами

1/24 (1,2,2,...,2,2,1)

При расчете этого среднего берутся два январских наблюдения (а в общем случае два одноименных наблюдения за два одноименных месяца), но каждое входит с весом, в два раза меньшим, чем наблюдения за другие месяцы.

Формулы (веса) (по способу их вывода) не дают значений тренда для первых или последних m членов ряда, отсутствие этих значений в начале обычно не столь уж и важно; иметь же их в конце, как правило, просто необходимо. Эти значения тренда можно получить без больших затруднений путем дальнейшего развития уже рассмотренного метода. Действительно, ранее мы подбирали кубический полином к семи точкам ряда, в качестве таковых точек можно взять последние семь членов ряда. Для того чтобы найти значения этого кубического полинома в моменты t=1,2,3 (ведя отсчет от среднего члена семерки), определим значения коэффициентов а₁,а₂,а₃ в уравнении полинома, которые до сих пор нам не были нужны. Непосредственное решение (1) дает

Выражая эти коэффициенты в виде скользящих средних семи последних членов, получаем:

у_t=1/21(-2, 3, 6, 7, 6, 3, -2)+1/252(-22, -67, -58, 0, 58, 67, -22)*t+1/84(5, 0, -3, -4, -3, 0, 5) t² +1/36(-1, 1, 1, 0, -1, -1, 1) t³

Подставляя t=1,2,3 можно найти первые или последние три уровня ряда.

например,

у₁=1/42(1,-4, 2, 12, 19, 16, -4)

Веса, как и положено, в сумме равны единице, но не симметричны.

Следствием того, что с приближением к концу ряда коэффициенты отличны друг от друга все больше и больше, является тенденция возрастания суммы их квадратов. суммы квадратов коэффициентов все больше, то есть чем ближе конец ряда, тем меньше надежность значения тренда, измеряемая в данной точке степенью уменьшения ошибки. Иногда говорят, что подобранная кривая «виляет хвостом».

Дата добавления: 2014-12-07