А чи існує функція S(F)???

S(P) залежить від x, y?!

Позначимо М —множину многокутників на.

Кажуть, що встановлено вимірювання площ многокутників, якщо визначено відображення , яке задовольняє властивостям

Аксіоми

вимірювання

площ

Додатне число S(F) називають площею многокутника F.

Теорема: Якщо функція S(F) існує, то для всіх прямокутників Р зі сторонами x і y: S(P)=x y

x

Нехай S(F) — існує.

Тоді S(P)=f(x,y). -функція

виконуються властивості

вимірювання площ

площа S(P)— існує

а) f(x,y)=f(y,x)

б) f(,y)=f(,y)+f(,y)

в) f(1,1)=1

Нехай y=const. Позначимо (1)

З властивості б)

g(x)— пряма пропорційність

Наприклад y=3x

але

g(x)=kx

k залежить від y k=k(y) g(x)=k(y) x! f(x,y)=k(y) x

Нехай x=1

Тоді f(x,y)=f(1,y) x

Але з а)

f(1,1)=1-- площа квадрата зі стороною 1

S прямокутника S прямокутного S довільного

S паралелограма S трапеції

Властивості суми

P— многокутник, AB—і-та сторона

- довжина сторони

- орт зовнішньої нормалі і-тої сторони

О— довільна точка площини

- довільна точка і-тої сторони

??? сума - не залежить ні від вибору т. ,

ні від вибору т. О

1. , △ ()

просумуємо

0 Чому????

Отже,….

2.

з △ ()

(просумуємо)

(*)

0 Чому???

Нехай і =1,2,3

Якщо , то

,

Як сума перпендикулярних

векторів до тих, сума яких

дорівнює нулю.

, Отже…

Використаємо цю суму.

Нехай М-множина многокутників, - множина додатних чисел.

Теорема. Відображення S: за законом існує (задовольняє властивостям 1-3 вимірювання площ) і ЄДИН Е!

(Теорема існування і єдності площі (функції S(F))

Дата добавления: 2014-12-07