Принцип соответствия. Правило квантования

1. Н.Бор применил свои постулаты в первую очередь для анализа простейшей системы, состоящей из ядра с зарядом и одного электрона. Такая система охватывает атом водорода и водородоподобные ионы (, и т.п.).

По классическим представлениям, механическая энергия электрона, движущегося по круговой орбите вокруг ядра с зарядом , складывается из кинетической и потенциальной энергий

.

При этом первое слагаемое, в силу второго закона Ньютона

(1)

составляет только половину второго слагаемого по абсолютной величине. Поэтому полная механическая энергия электрона определяется только радиусом орбиты

, (2)

и является отрицательной величиной, как это и положено для финитного движения.

2. В силу первого постулата и принципа Ритца полная энергия электрона должна принимать дискретный ряд значений

. (3)

Из сравнения этих двух формул следует, что радиусы орбит должны принимать дискретный ряд значений. Необходимо было сформулировать правило квантования орбит. Для этого Н.Бор придумал принцип соответствия.

Бор предположил, что для больших значений n (когда уровни энергии становятся очень близкими друг к другу, а частота излучения малой) результаты даваемые классической и квантовой теорией должны совпадать. Так было, например, в теории М.Планка для равновесного теплового излучения. В частности частота излучения, рассчитываемая классическим и квантовым способом должна быть одинаковой.

По классическим представлениям частота излучения должна совпадать с угловой скоростью вращения электрона. Из второго закона Ньютона

следует

.

Отсюда получаем классическое выражение для частоты обращения электрона

. (4)

Классическая частота излучения пропорциональна отношению механической энергии и момента импульса электрона.

По квантовым представлениям

отсюда следует

. (5)

Из сравнения формул (4) и (5) Н.Бор получил правило квантования

. (6)

По крайней мере для низких частот (высоких энергетических уровней) момент импульса должен быть кратен постоянной Дирака.

Это правило квантования Н.Бор распространил на любые состояния, т.е. ввел в свою теорию как третий постулат.

Дата добавления: 2014-11-29