Нормальный закон распределения на плоскости

Независимость и некоррелированность.

Определение: Две случайные величины называются коррелированными, если их корреляционный момент (коэффициент корреляции) отличен от нуля. Если же их корреляционный момент равен нулю, то случайные величины X и Y называются некоррелированными.

Справедливы утверждения:

1. Две коррелированные величины также и зависимы.

Действительно, допустив противное, мы должны заключить, что , а это противоречит условию, т.к. для коррелированных величин . Обратное не всегда верно.

2. Если две величины зависимы, то они могут быть как коррелированными ( , так и некоррелированными ( ).

Вывод: Из коррелированности следует зависимость, а из независимости следует некоррелированность.

Определение: Нормальным законом распределения на плоскости называют распределение вероятностей непрерывной двумерной случайной величины (X, Y), если плотность совместного распределения вероятностей ее компонент имеет вид:

Вероятностный смысл параметров:

a₁, a₂ – математические ожидания случайных величин X и Y соответственно;

средние квадратические отклонения случайных величин X и Y соответственно;

коэффициент корреляции случайных величин X и Y.

Теорема: Для нормально распределённых компонент X и Y двумерной случайной величины (X, Y) понятия независимости и некоррелированности равносильны.

Доказательство: Докажем, что если компоненты двумерной, нормально распределенной случайной величины некоррелированны, то они и независимы. Пусть случайные величины X и Y некоррелированны. Тогда, полагая в формуле плотности совместного распределения вероятностей 0, получим:

Следовательно, случайные величины X и Y независимы.

Справедливо и обратное утверждение (ведя рассуждения от конца к началу, получим, что независимые случайные величины X и Y некоррелированны).

Можно доказать, что если двумерная случайная величина (X, Y) распределена нормально с параметрами , то её компоненты X и Y также распределены нормально с параметрами, соответственно равными и .

Дата добавления: 2014-12-27