Теорема Рейли

Частотные спектры одиночных сигналов

Определим спектр функции, амплитудно-частотный и фазо-частотный спектры (S (ω) и φ (ω)) для прямоугольного импульса (рис.5.23, а) амплитудой А и длительностью t _и.

По общей формуле определим спектр:

.

Определим модуль выражения, стоящего в скобках:

.

Тогда АЧС прямоугольного импульса имеет вид (рис. 5.23, в)

. (5.18)

Аргумент φ_S для прямоугольного импульса вычислим по формуле .

График ФЧС (φ_S (ω)) дан на рис. 5.23, б. При значениях

ωt_и = π, 3 π, …угол φ_S, увеличивается скачком на π.

Частотные спектры треугольного импульса (рис. 5.24) имеют вид

При подстановке в полученные выражения параметров треугольного импульса А = 4, t_и = 2 с графики АЧС и ФЧС будут иметь следующий вид (рис. 5.24)

Отметим, что ширина спектра зависит от длительности сигнала. Чем она больше, тем уже спектр.

Теорему Рейли (Релея) записывают следующим образом:

. (5.19)

Функция f (t) = 0 при t < 0; S (ω) представляет собой модуль спектра S (jω) функции f (t):

.

Если принять, что f (t) есть напряжение, приложенное к активному сопротивлению 1 Ом, то левая часть в (5.19) представляет собой энергию, выделяющуюся в этом сопротивлении.

Таким образом, площадь квадрата модуля спектра S (ω), разделенная на π, является энергией, рассеиваемой в активном сопротивлении, на которое воздействует f (t).

Величину S ² (ω) называют спектральной плотностью энергии сигнала.

Дата добавления: 2014-12-27