Функции полезности. Кривые безразличия. Функции спроса

В дереве 4 ребра, тогда число вершин равно...

Граф называется полным если...

Если два ребра выходят из одной вершины, то они называются...

Отметьте истинные высказывания

Тесты по теме №7

1. В виде графа какого вида можно представить родословную любого человека:

£ мультиграфа

£ псевдографа

£ циклического графа

£ полного графа

R дерева

£ точка А инцидентна ребру АС

R точка А инцидентна ребру АВ

R ребра АВ и ВС смежны

R смежными

£ кратными

£ инцидентными

£ циклическими

R смежны его любые две вершины

£ все ребра выходят из одной вершины

£ нет правильного ответа

£ указано направление движения от вершины к вершине

£ имются кратные ребра

5. Граф, который можно нарисовать на листе бумаги, не отрывая руки, называется:

£ гамильтоновым

R эйлеровым

£ простым

£ мультиграфом

£ полным

6. В дереве 5 вершин, тогда число рёбер равно...

R 4

£ 3

£ 5

7. Пусть в графе 5 рёбер и 5 вершин. После удаления любых двух рёбер число вершин станет равно...

£ 4

£ 6

R 5

R 5

£ 4

£ 3

9.Игры, в которых участники стремятся добиться для себя наилучшего результа­та, называются…

£ тактическими

£ оперативными

R стратегическими

10.Матричной игрой (при двух участниках) называется игра, в которой выигрыши первого игрока (проигрыши второго игрока) задаются …

R матрицей

£ таблицей

£ графиком

11.Величина а - гарантированный выигрыш игрока А называется …

£ верхней ценой игры

R нижней ценой игры

£ победой

Тема №8.Экономико-математические модели.

Полезность блага – это способность экономического блага удовлетворять одну или несколько человеческих потребностей.

Функция полезности – отношение между объемами потребляемых товаров и услуг Q и общей полезности (TU).

Функция полезности, возрастая до Q _max, имеет выпуклый вид, так как каждая последующая единица блага увеличивает общую полезность на меньшую величину, чем предыдущая. Функция общей полезности имеет точку максимума, после которой она становится убывающей (рис. 8.1). В максимуме данное количество блага полностью удовлетворяет потребность.

Рис. 8.1. Функция полезности и предельная полезность

Предельная полезность – это величина добавочной полезности, полученной от прироста величины потребителя на единицу при прочих равных условиях (MU – marginal utility).

Предельная потребность представляет собой частную производную общей полезности по объему потребления товара А

.

Предельная полезность (рис. 5.1) после Q _max становится отрицательной, что означает дальнейшее потребление приносит вред.

При покупке товаров на рынке потребитель выбирает набор, который для него является наиболее предпочтительным. Считается, что потребитель хорошо знает потребительские свойства товаров и определяет в соответствии со своими вкусами и предпочтениями полезность каждого товара. Уменьшение количества одного блага в наборе можно компенсировать увеличением некоторого количества другого блага. Существует много наборов, содержащих две товара в различной комбинации и имеющих одинаковую совокупную полезность. Эти наборы представляются точками на кривой безразличия. Кривая так называется потому, что потребителя безразлично, какой набор приобрести. Если обозначить количество товара A буквой x, а количество товара B буквой y, то кривая безразличия имеет вид (рис. 8.2). На рисунке наборы кривой имело общую полезность. При увеличении общей полезности кривая безразличия сдвигается вправо.

Рис. 8.2. Кривая безразличия

Для товаров совершенных заменителей (например, подсолнечное и кукурузное масла) кривая безразличия является прямой линией. В точках пересечения с осями потребитель покупает только один товар. В других точках потребитель покупает оба продукта в различной пропорции.

Удовлетворяет потребности набора A. Часть товара x в наборе B не будет использована для удовлетворения потребностей, поэтому этот набор покупать нецелесообразно. Набор взаимодополняемых товаров с большей общей полезностью u ₂ находится в угловой точке более высокой кривой безразличия.

Кривые безразличия никогда не пересекаются.

Кривые безразличия упорядочивают наборы товаров в определенном порядке в соответствии с их полезностью для потребителей.
Тем не менее, наглядность графического изображения, сила и убедительность аргументов А.Маршалла были настолько впечатляющими, что с тех пор экономисты всего мира используют именно такое изображение кривых спроса и предложения, объясняя с их помощью механизм рыночного ценообразования. При этом большая часть экономистов отдает себе отчет в том, что кривые спроса и предложения изображаются ими не совсем корректно, показывают эту математическую ошибку, но - так уж принято на протяжении многих десятилетий - ошибку не исправляют.
Кривые спроса и предложения в интерпретации А.Маршалла показаны на рисунке 8.3 На нем кривая предложения по традиции обозначена двумя буквами S, а кривая спроса - двумя буквами D. Точка пересечения этих кривых, обозначенная буквой A, характеризует точку рыночного равновесия с равновесной ценой P' и равновесным объемом продаж Q'.
Указанная постановка задачи на первых порах затрудняет понимание процесса рыночного ценообразования, особенно для людей со строгими математическими вкусами. Однако в дальнейшем проблемы постепенно исчезают.

Рис. 8.3. Кривые спроса и предложения в классической постановке А.Маршалла

В настоящей работе такая интерпретация процессов оказывается неприемлемой, поэтому в дальнейшем и математически и графически имеется в виду именно зависимость объемов от цены единицы изделия, то есть будет использоваться математически корректная постановка задачи.
Тогда если говорить о кривой спроса, которая характеризует объем приобретения при той или иной цене, а о кривой предложения говорить как о кривой, характеризующей объемы товара, которые продавцы готовы предложить на продажу при изменении цен, то график должен быть иным, а именно таким, как это изображено на рисунке 8.4.
Здесь, в отличие от рисунка 8.3, кривая предложения:
- во-первых, имеет началом горизонтальную ось, а не вертикальную;
- во-вторых, имеет горизонтальную асимптоту, а не вертикальную.
Очевидно, что и координаты точки A поменялись местами.
Новое расположение кривых спроса и предложения математически, а значит, и методологически более верны, да и смысловую нагрузку имеют достаточно более ясную, чем в случае их изображения на осях рисунка 8.3.

Рис. 8.4. Кривые спроса и предложения в математически корректной постановке

В такой постановке задачи можно действительно говорить о графическом изображении зависимости объемов от цены и говорить об адекватности ему математических методов, начиная с уравнений кривых спроса и предложения и заканчивая (в специальных случаях) вычислением интегралов.
Рисунок 8.4 позволяет получить целый ряд новых результатов, которые невозможно получить при применении рисунка 8.3. В большинстве случаев практикующих экономистов волнует кривая спроса.
Графическая модель спроса, показанная на рисунке 1.1.2, основана на предположении о неизменности, статичности рассматриваемого процесса. Если рассмотреть состояние спроса в каждый момент наблюдения на примере какого-либо конкретного рынка, то в подавляющем большинстве случаев мы будем иметь дело с точками, которые лежат не на одной кривой, которая может быть описана моделью с постоянными коэффициентами, а на целом ряде кривых. В подавляющем большинстве случаев каждая новая кривая спроса будет значительно отличаться от предыдущей и от последующей и будет расположена таким образом, что она изменит и уровень своей кривизны, и свои асимптоты.
Это означает, что и все параметры математической модели, с помощью которой можно описать кривую спроса, оказываются изменяющимися во времени.
Эмпирические опыты показывают, что изменения параметров математической модели, описывающих кривую спроса, как правило, не имеют какой-либо выраженной тенденции. Это означает, что проанализировать и спрогнозировать тенденцию изменения параметров модели (а значит, и тенденцию изменения кривых спроса) нет никакой возможности. Более того, мой собственный практический опыт исследования кривых спроса и предложения на различных фондовых рынках России показывает, что их месторасположение определяется состоянием экономической конъюнктуры и ее конъюнктурообразующих факторов. Часть этих факторов просто неизвестна и не может быть не только спрогнозирована, но даже выявлена. Другая часть не может быть оценена количественно, так как носит явно качественный характер (заявления политиков, например). В то же время, колебания спроса и предложения относительно некоторой постоянной величины под воздействием этих факторов в кратковременной перспективе носит явно выраженный вероятностный характер, поэтому в долговременном аспекте динамика рыночных цен имеет все же некоторый закономерный характер, выявлением и описанием которого занимаются прогнозисты.
Поэтому единственно приемлемым путем для прогнозирования спроса остается путь прогнозирования динамики не кривой спроса, а точки равновесия А, ее абсциссы и ординаты. При этом априорно приходится предполагать, что выявленная динамика будет сохраняться и в прогнозируемом периоде, то есть делается предположение о некотором количественном стационарном изменении экономической конъюнктуры.
В терминах данной работы под доходом будет пониматься начальный запас блага плюс денежный доход. Этот фактор в работе я обозначил буквой С.
Показать предопределяющее влияние дохода на спрос можно графически. Так, на рисунке 8.5 представлен график месторасположения кривой предложения и двух кривых спроса, каждая из которых отличается величиной дохода потребителя. Кривая, отмеченная на рисунке через С₁, характеризует спрос потребителя, для которого характерен меньший доход, чем у кривой спроса, отмеченной буквой С₂.

Рис. 8.5 Кривые спроса при разных состояниях дохода С₁ и С₂

Как легко убедиться из графика рисунка 8.5, отдельные геометрические характеристики кривой спроса (точки пересечения с осями координат, угол наклона касательной и т.п.) определяются доходом покупателя. Значит именно доход покупателя, существенно влияя на спрос, определяет точку пересечения кривых спроса и предложения, т.е. на равновесную точку. В классической экономической теории предполагается, что доход является фиксированным и рассматривается некоторый абстрактный потребитель с данным доходом.

§8.2 Уравнение Слуцкого. Кривые «доход-потребление». Кривые «цены-потребление». Коэффициенты эластичности. Материальные балансы

Коэффициенты эластичности

В экономике важным показателем считается эластичность спроса.

Коэффициент эластичности спроса по цене показывает, на сколько изменится спрос в процентах при увеличении цены товара на 1%.

Коэффициент эластичности спроса по цене определяется как , где Q - спрос. Из-за отрицательного наклона функции спроса e_p < 0.

Факторами, влияющими на эластичность, являются наличие заменителей, размера дохода, качество товара и т.д.

Спрос называют эластичным, если e_p > 1. Когда e_p < 1, то спрос считается не эластичным. Если 0 < e_p < 1, то спрос не эластичен, и увеличение (снижение) цены сопровождается снижением (повышением) спроса менее, чем на 1%. Если e_p > 1, то спрос эластичен, и увеличение (снижение) цены сопровождается снижением (повышением) спроса более, чем на 1%.

Если кривая спроса задана линейной функцией Q= a – bp, то .

@ Задача 1. Найти эластичность спроса Q = 40 – 2p по цене, при p = 4.

Решение: e_p = 4/32×(– 2) = – 0,25.

В случае, если спрос является функцией двух переменных – цены p и дохода населения R, то коэффициент эластичности спроса по цене определяется как , т.е. с помощью частной производной спроса по цене. Таким же образом определяется коэффициент эластичности спроса по доходу . С ростом доходов покупатель предпочтение дает качественным (и дорогим) товарам, поэтому для качественных товаров спрос увеличивается с ростом доходов, т.е. e_R > 0. Потребление низкосортных товаров с ростом доходов уменьшается, поэтому e_R < 0.

Высокий положительный коэффициент спроса по доходу в отрасли указывает, что ее вклад в экономический рост больше, чем доля в структуре экономики, и она имеет шансы на расширения и процветание в будущем. Наоборот, если коэффициент эластичности спроса на продукцию отрасли имеет небольшое положительное или отрицательное значение, то ее может ожидать застой и перспективы сокращения производства.

Коэффициент эластичности предложения по цене показывает, на сколько изменится предложение в процентах при увеличении цены товара на 1%.

Коэффициент эластичности предложения по ценеопределяется по той же формуле, где Q – предложение. Здесь уже e_p > 0, т.к. предложение увеличивается при увеличении цены.

@ Задача 2. Найти коэффициенты эластичности спроса по цене и доходу, для Q = 100 – 2p + 0,1R, при p = 10, R = 1000.

Решение: e_p = 10/180×(– 2) = – 0,11;

e_R = 1000/180×(0,1) = 0,55

Дата добавления: 2014-12-27