Теоретическое введение 1 страница

Маятником называют твердое тело, способное под действием силы тяжести совершать колебания вокруг неподвижной точки или оси. Принято различать математический и физический маятники.

Математическим маятником называют идеализированную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена материальная точка (тело, размерами которого можно пренебречь). Достаточно хорошим приближением к математическому маятнику служит небольшой тяжелый шарик, подвешенный на длинной тонкой нити. Период колебаний математического маятника равен:

(1),

где l – длина маятника, g – ускорение свободного падения.

Физическим маятником называется твердое тело, укрепленное на неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через его центр масс. Под действием силы тяжести физический маятник способен совершать колебания относительно этой оси. При малых колебаниях период колебаний физического маятника определяется формулой:

(2),

где I – момент инерции маятника относительно горизонтальной оси, проходящей через точку подвеса; m – масса маятника; l – расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника.

Сопоставление формул (1) и (2) показывает, что математический маятник с длиной

(3)

будет иметь такой же период колебаний, как и данный физический маятник. Величину (3) называют приведенной длиной физического маятника. Таким образом, приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника. Этот период задается формулой:

(4).

Точка О' на прямой, соединяющей точку подвеса О с центром масс C, лежащая на расстоянии приведенной длины от оси вращения, называется центром качания физического маятника (рис. 1). Приведенная длина всегда больше l, поэтому точка подвеса и центр качания лежат по разные стороны от центра масс.

Можно показать, что при подвешивании маятника в центре качания О' приведенная длина маятника, а значит и его период колебаний, будут теми же, что и вначале (когда маятник был подвешен в точке О). Следовательно, точка подвеса О и центр качания О' обладают свойством взаимозаместимости: при переносе точки подвеса в центр качания прежняя точка подвеса становится новым центром качания.

На этом свойстве основано определение ускорения свободного падения с помощью так называемого оборотного маятника. Оборотным называют такой физический маятник, у которого имеются две параллельные друг другу, закрепленные вблизи его концов опорные призмы, за которые маятник можно поочередно подвешивать. Закрепленные на маятнике тяжелые грузы можно перемещать вдоль маятника. Перемещением грузов можно добиться того, чтобы при подвешивании маятника за любую из опорных призм период колебаний был одинаков. Тогда расстояние между опорными ребрами призм будет равно приведенной длине физического маятника l_пр. Измерив период колебаний маятника и зная l_пр , можно по формуле (4) найти ускорение

свободного падения g.

Описание установки

Используемый в данной работе оборотный маятник изображен на рисунке 2. Маятник представляет собой стальной стержень С, снабженный двумя неподвижными опорными призмами П₁ и П₂. На стержне закреплены две массивные стальные чечевицы A₁ и A₂. Чечевицу A₂ можно перемещать вдоль стержня и закреплять в различных положениях, определяемых расстоянием b от конца стержня. Маятник подвешивают на кронштейне К поочередно за каждую из призм П₁ и П₂. Перемещением чечевицы A₂ добиваются того, чтобы при подвешивании на призмах П₁ и П₂ период колебаний маятника был одинаков. Тогда расстояние между опорными ребрами призм будет равно приведенной длине l_пр.

Порядок выполнения работы

1. Закрепите чечевицу А₂ на некотором расстоянии b от конца стержня.

2. Установите маятник на опорной призме П₁. Приведите маятник в колебательное движение, отклонив его на небольшой угол (не более 10°) от вертикальной оси. Найдите период колебаний , трижды определив время t, за которое маятник совершает n колебаний (рекомендуем взять n = 10), и вычислив среднее арифметическое t _ср. Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу 1.

3. Установите маятник на опорной призме П₂ и проведите измерения периода колебаний так же, как описано в пункте 2.

Опыты (1-3) рекомендуем провести при пяти–шести (k = 5¸6) положениях чечевицы А₂, например, соответствующих расстояниям b ₁ = 2, b ₂ = 6, b ₃ = 10, b ₄ = 14, b ₅ = 18 см.

4. Постройте графики Т _П1 = f ₁(b) и Т _П2 = f ₂(b) зависимостей периода колебаний маятника от положения чечевицы А₂, откладывая по оси абсцисс расстояние b, а по оси ординат периоды колебаний Т _П1 и Т _П2, измеренные при различных значениях b при двух положениях маятника (с опорой на призму П₁ и на призму П₂). Координата b _x точки пересечения кривых Т _П1 = f ₁(b) и Т _П2 = f ₂(b) определяет такое положение чечевицы А₂, при котором периоды Т _П1 и Т _П2 одинаковы: Т _П1 = Т _П2 = Т.

5. Уточните значение периода колебаний маятника Т при найденном положении b _x чечевицы А₂. Для этого закрепите чечевицу А₂ в положении b _x и, подвесив маятник сначала на призме П₁, а потом на призме П₂, по три раза измерьте соответствующие времена t ₁ и t ₂, за которые маятник совершает n колебаний (во всех опытах возьмите одно и то же значение n = 10). Вследствие погрешности определения расстояния b _x величины Т _П1 и Т _П2, а следовательно и величины t ₁ и t ₂, могут отличаться друг от друга. Необходимое для вычисления периода колебаний наиболее вероятное значение t времени n колебаний, а также абсолютную погрешность Δ t величины t найдите методом Стьюдента, используя шесть измеренных значений t (трех величин t ₁ и трех величин t ₂). Результаты измерений и расчетов занесите в таблицу 2.

6. Определите приведенную длину маятника l_пр, измерив расстояние между ребрами опорных призм (при измерении можно использовать нанесенные на стержень маятника сантиметровые метки).

7. Вычислите g по формуле: .

8. Вычислите относительную погрешность определения величины g по формуле:

,

при этом погрешность Δn определения числа колебаний можно принять равной нулю.

9. Найдите абсолютную погрешность:

Δ g = ε·g.

10. Запишите окончательный результат:

g = (g ± Δ g); ε =....

Сравните этот результат с величиной ускорения свободного падения, приводимой в справочниках по физике: g = 9.80665 м/с².

Таблица 1

Измерения периода колебаний оборотного маятника при опоре на призму П₁ и на призму П₂ при различных положениях b чечевицы А₂

b, см	№	Призма П1	Призма П2
t, с	t ср, с	T, с	t, с	t ср, с	T, с
b 1
b 2
· · ·
b k

Таблица 2

Измерения периода колебаний оборотного маятника при положении чечевицы А₂, равном b _x =... см

lпр, м	n	П1 t 1, с	П2 t 2, с	t, с	Δ t, с	, м/с^2

Контрольные вопросы

1. Что такое математический маятник? Что такое физический маятник?

2. Запишите формулы для периодов колебаний математического и физического маятников. Какие предположения использованы при выводе этих формул?

3. Что называется приведенной длиной физического маятника?

4. Докажите справедливость утверждения: «Приведенная длина физического маятника всегда больше расстояния между точкой подвеса и центром масс маятника».

5. Что называется центром качания физического маятника?

6. Докажите справедливость утверждения: «Маятник, подвешенный в центре качания О', имеет такую же приведенную длину, какую он имел, когда был подвешен в исходной точке О».

7. Какой маятник называют оборотным? Как в данной работе с помощью оборотного маятника определяют величину ускорения свободного падения?

8. Тонкий однородный абсолютно твердый стержень, имеющий массу m и длину r, подвешен за один из своих краев. Найдите положение центра качания, соответствующего этой точке подвеса.

9. Физический маятник представляет собой однородное тело, обладающее центром симметрии. Докажите равенство периодов колебаний этого маятника для любых двух точек подвеса, равноотстоящих от центра масс и лежащих на прямой линии, проходящей через центр масс. Докажите, что эти две точки не обладают свойством взаимности. Имеется ли центр симметрии у физического маятника, использованного в настоящей работе?

Литература

1. Савельев И. В. Курс общей физики: Учебн. пособие для втузов: в 3 т. Т.1: 2.

2. Механика. Молекулярная физика. - 3-е изд., испр. - М.: Наука, 1986. – 432с.

3. Лабораторный практикум по физике: Учеб. пособие для студентов втузов/ Б. Ф. Алексеев, К. А. Барсуков, И. А. Войцеховская и др.; Под ред. К. А. Барсукова и Ю. И. Уханова. – М.: Высш. школа,1988. – 351 с.: ил.

ISBN 5-06-001365-0

4. Майсова Н.Н. Практикум по курсу общей физики. – М.: Высшая школа, 1970

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ СИСТЕМЫ ТЕЛ

С ПОМОЩЬЮ МАЯТНИКА ОБЕРБЕКА.

Цель работы – определить момент инерции системы четырех одинаковых грузов массы m двумя способами: 1) экспериментально с помощью маятника Обербека, 2) теоретически, считая грузы материальными точками. Сравнить полученные результаты.

Приборы и принадлежности: маятник Обербека, секундомер, масштабная линейка, набор грузов, штангенциркуль.

Теоретическое введение

Момент инерции – физическая величина, характеризующая инертность тела при вращательном движении.

Моментом инерции материальной точки относительно оси вращения называется произведение массы этой точки на квадрат ее расстояния до оси (см. рис. 1)

Моментом инерции произвольного тела относительно оси называется сумма моментов инерции материальных точек из которых состоит тело, относительно этой оси (см. рис. 2)

Для однородных тел правильной геометрической формы можно заменить суммирование интегрированием.

,

где dm = ρdV (ρ – плотность вещества, dV – элемент объема)

Таким образом получены формулы некоторых тел массой m относительно оси, проходящей через центр тяжести:

а) стержня длиной относительно оси, перпендикулярной стержню

,

б) обруча (а также тонкостенного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча и проходящей через его центр тяжести (совпадающей с осью цилиндра)

,

где – радиус обруча (цилиндра)

в) диска (сплошного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр тяжести (совпадающей с осью цилиндра)

,

где – радиус диска (цилиндра)

г) шара радиуса R относительно оси произвольного направления, проходящей через его центр тяжести

^.

Момент инерции тела зависит: 1) от формы и размеров тела, 2) от массы и распределения масс, 3) от положения оси относительно тела.

Теорема Штейнера о параллельных осях записывается как:

,

где – момент инерции тела массой m относительно произвольной оси, – момент инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр тяжести тела параллельно произвольной оси, – расстояние между осями.

Описание установки

Маятник Обербека представляет собой крестовину, состоящую из шкива и четырех равноплечих стержней, закрепленных на горизонтальной оси (см. рис.2). На стержнях на равных расстояниях от оси вращения насажены четыре одинаковых груза массы m каждый. При помощи груза m ₁, прикрепленного к концу шнура, намотанного на один из шкивов, вся система может быть приведена во вращательное движение. Для отсчета высоты падения h груза m₁ имеется вертикальная шкала.

Запишем второй закон Ньютона для падающего груза в векторной форме

(1)

где - сила тяжести; - сила натяжения шнура (см. рис. 1);

- линейное ускорение, с которым падает груз m₁ вниз.

Принимая направление движения груза за положительное, перепишем уравнение (I) в скалярной форме

(2)

откуда получим выражение для силы натяжения шнура

(3)

Линейное ускорение a находится из формулы пути равноускоренного движения без начальной скорости

(4)

где h – высота падения груза m ₁; t – время падения.

Сила натяжения нити F_нат вызывает ускоренное вращение крестовины. Основной закон вращательного движения крестовины с учетом сил трения запишется так:

M – M_тр = I× i, (5)

где М – момент силы натяжения; M_тр - момент сил трения; I - момент инерции крестовины; i - угловое ускорение, с которым вращается крестовина. Величина момента сил трения M_тр по сравнению с величиной вращающего момента М невелика, и, следовательно, ею можно пренебречь.

Из уравнения (5) с учетом сделанного замечания получаем окончательную формулу для расчета момента инерции крестовины

(6)

где r - радиус шкива. Угловое ускорение i определяется по формуле

(7)

Подставляя (3) и (7) в (6), получаем окончательную формулу для расчета момента инерции крестовины

(8)

Порядок выполнения работы.

Часть I.

Экспериментальное определение момента инерции системы 4^х грузов.

1. Снять со стержней грузы m.

2. Намотать в один слой шнур на шкив, установив груз m₁ на заранее выбранной высоте h. Отпустив крестовину, замерить время падения t_о груза с помощью секундомера. Опыт повторить пять раз (при одной и той же высоте падения h).

3. Закрепить на концах стержней грузы m.

4. Выполнить операции, указанные в пункте 2, измеряя секундомером время падения t. Опыт повторить пять раз.

5. С помощью штангенциркуля измерить диаметр шкива d в пяти разных положениях.

6. Результаты измерений занести в таблицу. Найти приближенные значения и по методу Стьюдента оценить абсолютные погрешности измерения величин t_о, t и d.

7. По формуле (4) рассчитать величину линейного ускорения a, с которым падает груз m₁ для случаев:

а) крестовина без грузов (a_о),

б) крестовина с грузами (а).

8. По формуле (8) вычислить момент инерции крестовины без грузов (I_o) и с грузами (I), используя приближенные значения m_{1, R,} g и полученные значения а и а_о.

9. Вычислить погрешности измерений по формулам:

(9)

(10)

Таблица 1

Результаты измерений и вычислений

№ п/п	to, c	t, c	d, м	h, м	m = (0,144 + 0,005) кг   m1 = (0,175 + 0,005) кг   R = (0,220 + 0,003) м
Приближен. значения
Абсолютная погрешность

Часть II.

1. Теоретически найти момент инерции системы 4^х грузов массы m, находящихся на расстоянии R от оси вращения (считая грузы материальными точками)

(11)

2. Сравнить результаты эксперимента и расчетов. Вычисть относительную погрешность

(12)

и сделать вывод о том, как велико расхождение полученных результатов.

Контрольные вопросы.

1. Что называется моментом инерции материальной точки и произвольного тела?

2. От чего зависит момент инерции тела относительно оси вращения?

3. Приведите примеры формул момента инерции тел. Как они получены?

4. Теорема Штейнера о параллельных осях и ее практическое использование.

5. Вывод формулы для расчета момента инерции крестовины с грузами и без грузов.

Литература

1. Савельев И. В. Курс общей физики: Учебн. пособие для втузов: в 3 т. Т.1: Механика. Молекулярная физика. - 3-е изд., испр. - М.: Наука, 1986. – 432с.

2. Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики: Учебн. пособие для втузов. - М.: Высшая школа, 1989. - 607 с. - предм. указ.: с. 588-603.

3. Зисман Г. А., Тодес О. М.. Курс общей физики для втузов: в 3 т. Т. 1: Механика, молекулярная физика, колебания и волны - 4-е изд., стереотип. - М.: Наука, 1974. - 340 с.

4. Методические указания к выполнению лабораторных работ по разделу “Механика“.- Иваново, ИХТИ, 1989 г. (под редакцией Биргера Б.Н.).

Часть II. Колебания и волны

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОГО ДЕКРЕМЕНТА
КОЛЕБАНИЙ МАЯТНИКА

Цель работы: определить логарифмический декремент колебаний маятника при наличии разных сил сопротивления и построить графики изменения амплитуды колебаний со временем.

Приборы и принадлежности: маятник, кювета со шкалой, приспособление для пуска маятника, секундомер, емкость с водой.

Теоретическое введение

Колебаниями называются движения или процессы, повторяющиеся во времени. Простейшим видом колебательного движения является гармоническое колебание. Оно возникает в том случае, когда на тело, выведенное из положения равновесия, действует сила F, направленная к положению равновесия и пропорциональная смещению:

F = – kx, (1)

где х – смещение тела от положения равновесия, k – коэффициент пропорциональности, который зависит от упругих свойств системы и называется коэффициентом квазиупругой силы. Знак минус показывает, что сила направлена противоположно смещению.

Второй закон Ньютона для материальной точки, совершающей гармоническое колебание, представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка

, (2)

где m – масса материальной точки.

Решением уравнения (2) является выражение

x = A cos(w t + a), (3)

где A – амплитуда колебаний, w – циклическая частота, a – начальная фаза колебаний. Аргумент периодической функции

j = w t + a (4)

называется фазой колебаний. При t = 0 фаза j = a. Начало отсчета можно выбрать так, чтобы a = 0, тогда

x = A cosw t. (5)

График зависимости смещения х от времени t представляет собой график гармонического колебания (рис. 1).

Если колебания совершаются при наличии сил сопротивления, то энергия системы частично затрачивается на их преодоление. Вследствие этого амплитуда колебаний постепенно уменьшается, т.е. колебания будут затухающими.

Таким образом, затухающие колебания совершаются при наличии двух сил: силы, возвращающей систему в положение равновесия, и силы сопротивления среды. При малых скоростях сила сопротивления прямо пропорциональна скорости υ:

F _сопр = – rυ, (6)

где r – коэффициент сопротивления среды. Знак минус показывает, что сила сопротивления направлена в сторону, противоположную скорости.

Для затухающих колебаний второй закон Ньютона имеет вид:

. (7)

Решением уравнения (7) является выражение:

x = A ₀e^{–d t} cos(w t + α), (8)

где A ₀ – начальная амплитуда колебаний; d– коэффициент затухания, равный

d = ; (9)

w – циклическая частота затухающих колебаний, равная w = ; w₀ – собственная частота колебаний системы. Собственнойчастотой колебаний называется частота колебаний в отсутствие сил сопротивления среды. Смещение колеблющейся системы в начальный момент времени равно
x ₀ = A ₀cosα.

Из уравнения (8) видно, что амплитуда затухающих колебаний уменьшается с течением времени по экспоненциальному закону:

A = A ₀e^{–d t}. (10)

График затухающего колебания представлен на рис. 2.

Кроме перечисленных выше величин A ₀, d, w, затухающие колебания характеризуются также логарифмическим декрементом D. Логарифмический декремент колебаний – безразмерная величина, равная натуральному логарифму отношения двух амплитуд, отстоящих друг от друга на время, равное одному периоду

D = (11)

Из формулы (11) следует, что логарифмический декремент – величина, обратная числу колебаний N _e, за которое амплитуда уменьшается в е раз. Для характеристики колебательной системы также используется величина, называемая добротностью Q. При малых значениях логарифмического декремента (D << 1) добротность колебательной системы равна Q ,

тогда

Q = p N _e.

Подставив в уравнение (11) A _t = A ₀e^{–d t} и A _{t + T} = A ₀e^{–d( t + T )}, получим связь между параметрами затухающего колебания – логарифмическим декрементом, коэффициентом затухания и периодом колебаний:

D = d Т. (12)

Для определения логарифмического декремента нужно измерить амплитуды двух последовательных колебаний и взять натуральный логарифм их отношения. На опыте измеряют амплитуду в начальный момент времени A ₀ и амплитуду A _t через N полных колебаний.

Получим формулу для вычисления логарифмического декремента. Выразим отношение двух амплитуд:

= e ^{δ t} .

Так как t = NT, где N – число полных колебаний, Т – период колебаний, то e ^{δ NT} .

Используя соотношение (12), получим

e^DN.

Дата добавления: 2014-12-29