Теоретическое введение 2 страница

Найдем натуральный логарифм отношения амплитуд:

ln = ln e^DN = DN,

откуда

D = . (13)

Описание установки

На рис. 3 изображена установка для наблюдения затухающих колебаний. Массивный маятник с длиной стержня около двух метров подвешен на треугольном стальном ноже 1, опирающемся на кронштейн 2. На стержне укреплен массивный диск 3. На нижнем конце стержня укреплен указатель 4 для отсчета числа делений по шкале 5. На стержне также закреплена лопатка 6. Маятник удерживается в отклоненном положении с помощью механического фиксатора 7. При повороте фиксатора маятник приходит в колебательное движение.

В работе изучаются затухающие колебания в воздухе и в воде. Чтобы заполнить кювету 8 водой, емкость 9 фиксируется в верхнем положении на кронштейне 10, и вода самотеком наливается в кювету через шланг.

Порядок выполнения работы

1. Установить маятник в крайнее правое положение с помощью фиксатора 7. Определить начальное значение амплитуды A ₀ по шкале и записать его.

2. Освободить маятник, повернув фиксатор, и одновременно включить секундомер. Вести отсчет числа колебаний маятника и через каждые 50 колебаний отмечать по шкале значение амплитуды колебаний А _t.

3. Через 250 колебаний остановить секундомер и записать его показание.

4. Наполнить сосуд водой и повторить опыт. Вести отсчет амплитуды через каждые 25 колебаний. Записать время 125 колебаний. В случае быстрого затухания амплитуду измерять чаще, например, через каждые 10 колебаний.

5. По формуле (13) рассчитать логарифмический декремент колебаний в воздухе и в воде.

6. Обработать результаты по методу Стьюдента. Записать приближенное значение логарифмического декремента колебаний в воздухе и в воде с указанием абсолютной и относительной погрешности.

7. По результатам измерений на одном графике построить зависимости амплитуды от времени для затухающих колебаний в воздухе и в воде.

8. Вычислить период колебаний маятника в воздухе и в воде.

9. Используя формулу (12) рассчитать коэффициент затухания колебаний маятника в воздухе и в воде.

10. Записать уравнения затухающих колебаний в виде (8), подставив в него полученные в работе величины A ₀, d, w и a.

11. Используя формулу (9), рассчитать коэффициент сопротивления среды (воздуха и воды).

12. Сделать выводы по работе.

Таблица

Результаты измерений и вычислений

№ п/п	В воздухе	В воде
А 0	А t	N	D	А 0	А t	N	D
Среднее значение D		Среднее значение D
Абсолютная погрешность D D		Абсолютная погрешность D D

Контрольные вопросы и задания

1. Какие колебания называются гармоническими? Под действием какой силы они происходят? Запишите второй закон Ньютона для гармонических колебаний.

2. Запишите уравнение смещения от времени для гармонического колебания. Перечислите величины, характеризующие гармоническое колебание. Изобразите график гармонического колебания.

3. Какие колебания называются затухающими? Запишите второй закон Ньютона для затухающих колебаний.

4. Запишите уравнение смещения от времени для затухающего колебания. Перечислите величины, характеризующие затухающее колебание. Изобразите график затухающего колебания.

5. Дайте определение логарифмического декремента колебаний. Каков его физический смысл? Как он определяется в данной работе, от чего зависит?

Литература

1. Савельев И. В. Курс общей физики: Учебн. пособие для втузов: в 3 т. Т.1: Механика. Молекулярная физика. - 3-е изд., испр. - М.: Наука, 1986. – 432с.

2. Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики: Учебн. пособие для втузов. - М.: Высшая школа, 1989. - 607 с. - предм. указ.: с. 588-603.

3. Майсова Н.Н. Практикум по курсу общей физики. – М.: Высшая школа, 1970

4. Лабораторный практикум по физике: Учеб. пособие для студентов втузов./ Ахматов А.С., Андреевский В.М., Кулаков А.И. и др.; Под редакцией А.С. Ахматова. – М.: Высшая школа. 1980. – 360 с.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ВОЗДУХЕ
МЕТОДОМ СТОЯЧИХ ВОЛН

Цель работы: определение длины стоячей волны и скорости звука в воздухе.

Приборы и принадлежности: резонатор с телефоном и микрофоном, звуковой генератор, осциллограф, отсчетная линейка.

Теоретическое введение

Звук представляет собой упругие волны, распространяющиеся в газах, жидкостях и твердых телах и воспринимаемые ухом человека и животных. Человеческое ухо способно воспринимать звук с частотами от 16 Гц до 20 кГц. Звук с частотами ниже 16 Гц называется инфразвуком, а выше 20 кГц – ультразвуком. Наука о звуке называется акустикой.

Если в упругую среду поместить источник колебаний, то соприкасающиеся с ним частицы будут выведены из положения равновесия и придут в колебательное движение. Колебания этих частиц передаются силами упругости соседним частицам среды, а от них – к другим, более удаленным от источника колебаний. Через некоторое время колебательный процесс охватит всю среду. Распространение колебаний в упругой среде называется волнойили волновым процессом.

Различают продольные волны (частицы колеблются вдоль направления распространения волны) и поперечные волны (частицы колеблются перпендикулярно этому направлению). Продольные волны представляют собой чередующиеся сгущения и разрежения. Такие волны распространяются в средах, в которых возникают силы упругости при деформациях сжатия и растяжения, но не обладающих напряжением сдвига (т.е. в твердых телах, жидкостях и газах). Примером продольных волн являются звуковые волны. Поперечные волны распространяются в средах, в которых возникают упругие силы при деформации сдвига (т.е. в твердых телах или в некоторых особых случаях, например, волны на границе раздела жидкость-газ). Скорость распространения продольных и поперечных волн зависит от упругих свойств среды. Так, при 20 ºС скорость звука в воздухе равна 343 м/c, в воде – 1480 м/c, в стали – около 6000 м/c.

Скорость звука в газах теоретически можно рассчитать по формуле:

, (1)

где g – показатель адиабаты (отношение теплоемкости при постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме), R – молярная газовая постоянная, Т – термодинамическая температура, М – молярная масса газа. Таким образом, скорость звука в газах оказывается такого же порядка, что и средняя скорость теплового движения молекул.

Уравнение бегущей волны, распространяющейся вдоль координаты x, имеет вид:

x = A cos(w t – kx), (2)

где x – смещение частиц среды от положения равновесия; А – амплитуда волны; w – циклическая частота колебаний; t – время; k – волновое число, (l – длина волны).

Стоячей волной называется особое колебательное состояние среды, возникающее при наложении двух встречных бегущих волн (например, прямой и отраженной) одинаковой амплитуды и частоты. Стоячая волна – это частный случай интерференции волн.

Рассмотрим сложение двух встречных волн с одинаковой амплитудой и частотой. Прямая волна описывается уравнением

x₁ = A cos(w t – kx), (3)

в уравнении отраженной волны координата x меняет знак на противоположный:

x₂ = A cos(w t + kx). (4)

Сложим уравнения (3) и (4):

x = x₁ + x₂ = A cos(w t – kx) + A cos(w t + kx)

и, воспользовавшись формулой для суммы косинусов двух углов, получим уравнение стоячей волны:

x = 2 A cos x cosw t. (5)

Выражение, стоящее перед cosw t, представляет собой амплитуду стоячей волны:

А _{ст. в.} = | 2 A cos x |. (6)

Амплитуда колебаний частиц среды в стоячей волне зависит от координаты частиц x и, следовательно, меняется от точки к точке. Амплитуда стоячей волны максимальна (такие геометрические места называются пучностями) при условии

cos x = ± 1,

т.е.

x = ± p n, (7)

откуда координаты пучностей

x _пучн = ± . (8)

Амплитуда стоячей волны принимает нулевые значения (такие точки называются узлами) при условии

cos x = 0,

т.е.

x = ± (2 n + 1) , (9)

откуда координаты узлов

x _узл= ± . (10)

В формулах (7) – (10) n = 0, 1, 2, 3 …. Расстояние между соседними узлами или соседними пучностями равно l/2, а соседние узлы и пучности сдвинуты на l/4. Точки, находящиеся в узлах, не совершают колебаний.

Расстояние между двумя смежными узлами или пучностями называется длиной стоячей волны. Следовательно, длина стоячей волны равна половине длины бегущей волны:

l_ст = . (11)

Построим график стоячей волны. По уравнению (5) рассчитаем смещения x для фиксированных моментов времени t = 0, T /8, T /4, 3 T /8, T /2. В каждое из получившихся уравнений x = f (x) подставим координаты x = 0, l/4, l/2, 3l/4, l, 5l/4…. Результаты расчетов приведены ниже.

Полученные зависимости x = f (x) изображены на рис. 1 и представляют собой своего рода «мгновенные фотографии» стоячей волны.

Стоячая волна имеет следующие особенности:

1) амплитуда колебаний частиц различна в разных местах среды;

2) в пределах участка среды от одного узла до другого все частицы колеблются в одной фазе, при переходе через узел фаза колебаний меняется на противоположную;

3) в отличие от бегущей волны она не переносит энергию.

t = 0, x = 2 A cos x
x		l/4	l/2	3l/4	l	5l/4
x	2 A		–2 A		2 A
t = , x = 2 A cos x cos , x = A cos x
x		l/4	l/2	3l/4	l	5l/4
x	A		– A		A
t = , x = 2 A cos x cos , x = 0
x		l/4	l/2	3l/4	l	5l/4
x
t = , x = 2 A cos x cos , x = – A cos x
x		l/4	l/2	3l/4	l	5l/4
x	– A		A		– A
t = , x = 2 A cos x cos , x = –2 A cos x
x		l/4	l/2	3l/4	l	5l/4
x	–2 A		2 A		–2 A

Получим формулу для расчета скорости звука в данной работе. Скорость волны связана с длиной бегущей волны λ и с частотой ν соотношением

υ = λν. (12)

Из формулы (11) следует, что λ = 2λ_ст, тогда

υ = 2λ_ст ν. (13)

По формуле (13) можно рассчитать скорость звука при температуре эксперимента.

Зависимость скорости звука от температуры описывается соотношением

υ = υ ₀ , (14)

где υ ₀ – скорость звука при 0 ºС, t – температура в ºС, α – температурный коэффициент объемного расширения газа. Для воздуха α = (3,67 ± 0,05)·10^–3 ºС^–1. Из формулы (14) выразим скорость звука при 0 ºС:

υ ₀ = . (15)

Подставив (13) в (15), получим расчетную формулу:

υ ₀ = . (16)

Упрощенное описание установки и процессов, в ней происходящих

Установка для определения скорости звука (рис. 2) состоит из резонатора 1, звукового генератора 2, осциллографа 3 и отсчетной линейки 4. Резонатор представляет собой закрытую с обоих торцов трубу, в которую вмонтирован телефон 5 и подвижный шток 6 с микрофоном 7. Звуковой генератор создает электрические колебания определенной частоты. Телефон преобразует эти колебания в звуковые колебания той же частоты. Звуковая волна от телефона распространяется внутри резонатора. В результате интерференции прямой и отраженной звуковой волны в резонаторе возникает стоячая волна, которая представляет собой чередующиеся сгущения и разрежения воздуха.

На рис. 2 условно изображена стоячая волна, пучностям которой соответствует наибольшая амплитуда. Звук улавливается микрофоном и преобразуется в электрический сигнал, подаваемый на осциллограф. На экране осциллографа наблюдается сигнал синусоидальной формы, амплитуда которого пропорциональна амплитуде звуковых колебаний в данном месте резонатора. Когда мембрана микрофона находится в пучностях стоячей волны, амплитуда воспринимаемых колебаний максимальна, а когда в узлах – минимальна.

На опыте обычно измеряют положение первого максимума x ₁ и последнего максимума x _k и рассчитывают длину стоячей волны по формуле

λ_ст = , (17)

где k – число максимумов.

В несколько более точном представлении схема эксперимента и происходящие в ней явления выглядит иначе. Диаметр микрофона равен внутреннему диаметру резонатора. Таким образом, между микрофоном и телефоном существует замкнутое пространство, в котором распространяются падающая и отраженная волны. Стоячие волны возникают в том случае, когда между мембранами телефона микрофона укладывается целое число длин волн λ_ст и возникает явление резонанса, отчетливо воспринимаемое на слух и регистрируемое осциллографом.

Порядок выполнения работы

1. Включить звуковой генератор и установить частоту колебаний по указанию преподавателя (рекомендуемые частоты 900, 1000, 1100 Гц).

2. Перемещая шток с микрофоном по направлению от источника колебаний, определить число максимумов k с помощью осциллографа. По отсчетной линейке найти положение первого максимума x ₁ и последнего максимума x _k. Результаты измерений занести в таблицу.

Таблица

Результаты измерений и вычислений

№ п/п	n, Гц	k	x 1	x k	lст	υ 0, м/с

3. Для каждого значения частоты выполнить не менее трех измерений. При этом каждый раз рекомендуется заново устанавливать частоту на звуковом генераторе.

4. По формуле (17) рассчитать длину стоячей волны, а по формуле (16) – скорость звука в воздухе при 0 ºС. Результаты вычислений записать в таблицу.

5. Рассчитать приближенное значение скорости звука и оценить случайную погрешность D υ _сл по методу Стьюдента.

6. Вычислить приборную погрешность в скорости звука D υ _сист. Относительная приборная погрешность рассчитывается по формуле

,

где Dl_ст принять равной цене деления отсчетной линейки, Dn = 20 Гц, D t принять равной половине цены деления шкалы термометра,

Da = 5×10^–5 ºС ^–1. Абсолютная приборная погрешность будет равна

D υ _сист = e υ ₀.

7. Определить общую погрешность по формуле

D υ = .

8. Записать окончательный результат с указанием погрешности определения.

9. Рассчитать по формуле (1) скорость звука в воздухе

(γ = 1,40; М = 29·10^–3 кг/моль) и сравнить с полученным на опыте значением.

10. Сделать выводы по работе.

Контрольные вопросы и задания

1. Что такое звук? Каков диапазон частот звуковых волн? От чего зависит скорость звука?

2. Может ли звук распространяться в вакууме? Ответ обоснуйте.

3. Запишите уравнение бегущей волны и поясните величины, входящие в уравнение.

4. Дайте определение стоячей волны. Как возникают стоячие волны?

5. Выведите уравнение стоячей волны.

6. Что такое узлы и пучности? Получите уравнения координат узлов и пучностей.

7. В чем отличие стоячей волны от бегущей?

8. Построить график стоячей волны для фиксированного момента времени
t = 0, T /8, T /4, 3 T /8 или T /2 (или для других моментов по указанию преподавателя).

9. Обоснуйте расчетную формулу для скорости звука.

10. Опишите экспериментальную установку и методику определения скорости звука.

Литература

1. Савельев И. В. Курс общей физики: Учебн. пособие для втузов: в 3 т. Т.1: Механика. Молекулярная физика. - 3-е изд., испр. - М.: Наука, 1986. – 432с.

2. Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики: Учебн. пособие для втузов. - М.: Высшая школа, 1989. - 607 с. - предм. указ.: с. 588-603.

3. Майсова Н.Н. Практикум по курсу общей физики. – М.: Высшая школа, 1970

4. Лабораторный практикум по физике: Учеб. пособие для студентов втузов./ Ахматов А.С., Андреевский В.М., Кулаков А.И. и др.; Под редакцией А.С. Ахматова. – М.: Высшая школа. 1980. – 360 с.

Часть III. Молекулярная физика, термодинамика, явления переноса

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ

ПО МЕТОДУ КЛЕМАНА И ДЕЗОРМА

Цель работы – определить отношение теплоемкостей для воздуха.

Приборы и принадлежности – стеклянный баллон емкостью около 25 литров с краном, манометр, насос, соединительные трубки.

Теоретическое введение

Удельной теплоемкостью вещества называется физическая величина, равная количеству теплоты, необходимой для нагревания единицы массы вещества на 1 ^оС(К) в данном процессе.

Молярной теплоемкостью вещества называется физическая величина, равная количеству теплоты, необходимой для нагревания одного моля вещества на 1^оС(К) в данном процессе.

Очевидно,

где молярная масса вещества.

Для газов принято различать теплоемкость при постоянном объеме С_vи при постоянном давлении C_p, в зависимости от процесса нагревания газа.

Согласно первому закону термодинамики количество переданной системе теплоты расходуется на увеличение внутренней энергии системы и работу расширения

dQ=dU+dA

При нагревании газа при V=const работа расширения dA=0, и все тепло идет на увеличение внутренней энергии, т.е. на нагревание газа.

При нагревании газа при P =const тепло затрачивается не только на нагревание, но и на работу расширения газа. Поэтому С_p > С_v.

Согласно кинетической теории идеального газа

где z – число степеней свободы молекулы

n – число молей газа

T –температура по шкале Кельвина

R – универсальная газовая постоянная

Соответственно: для двухатомного газа z = 5 и γ = 1,40; для многоатомного z = 6 и γ = 1,33.

Для экспериментального определения воздуха в данной работе используется адиабатический процесс расширения или сжатия.

Адиабатическим процессом называется процесс без теплового обмена с окружающей средой. dQ = 0

Первое начало термодинамики для адиабатического процесса запишется как

0=dU+dA

или

а) dU = – dA - увеличение внутренней энергии газа (нагревание) происходит за счет работы внешних сил, совершающих сжатие газа.

б) dA = – dU – работа расширения, совершаемая газом, происходит за счет уменьшения его внутренней энергии.

Таким образом, при адиабатическом сжатии газ нагревается, при адиабатическом расширении – охлаждается.

Для осуществления адиабатического процесса нужно либо теплоизолировать систему, либо вести процесс так быстро, чтобы теплообмен не успел произойти.

Описание установки.

Стеклянный баллон А емкостью 25 литров с пробкой q соединен резиновыми трубками с насосом N и манометром М. На трубке, соединяющей баллон с насосом, имеется кран К (см. рис. 1).

Проведение эксперимента

I. Определение при сжатии воздуха.

1) Перед опытом открыть пробку q. Давление воздуха в баллоне А станет равным атмосферному давлению, и жидкость в манометре установится на одном и том же уровне в обоих коленах.

2) Закрыть трубку сосуда пробкой q, открыть кран К и осторожно накачать при помощи насоса N некоторое количество воздуха. Уровень жидкости в левом (соединенном с баллоном) колене начинает при этом опускаться, а в правом – подниматься.

Накачивать воздух следует до тех пор, пока разность высот уровней жидкости в манометре не достигнет нескольких десятков сантиметров (25 – 30 см). (При накачивании воздух в баллоне сжимается, и температура его повышается).

3) Закрыть кран К и дать воздуху в баллоне охладиться до комнатной температуры. Так как при охлаждении газа в баллоне его давление понижается, то разность уровней жидкости в манометре несколько уменьшается. Когда температура в баллоне станет равной температуре окружающего воздуха, перемещение уровней жидкости в манометре прекратится, и установится определенная разность высот h₁, которую отмечают по шкале манометра. Давление внутри баллона будет равно

P_{1 =} H + h₁,

где Н – атмосферное давление. Удельный объем газа (объем, занимаемый единицей массы газа) в баллоне будет V₁, а температура t₁ = t_комн. Это состояние изобразится точкой Ана графике, приведенном в таблице 1.

4). Открыть и очень быстро закрыть пробку q. При этом с воздухом в баллоне произойдут два следующие друг за другом процесса:

а). В момент открытия пробки происходит быстрое расширение воздуха, заключенного в баллоне, которое можно считать адиабатическим из-за его кратковременности. Давление при этом упадет до атмосферного и будет равно Р₂ = Н объем возрастает до V₂, так как часть воздуха вышла, и на единицу массы теперь приходится больший объем. Температура становится ниже комнатной t₂ < t₁, так как воздух адиабатически расширился. Это второе состояние изображается на графике, приведенном в таблице 1, точкой В.

Дата добавления: 2014-12-29