Теорема Штейнера. Кинетическая энергия движения твердого тела

Кинетическая энергия движения твердого тела

Кинетическая энергия вращательного движения определяется формулой:

Эта формула похожа на формулу для кинетической энергии поступательного движения тела, в которой произведена замена массы на момент инерции, а скорости поступательного движения на угловую скорость. Таким образом, момент инерции играет роль параметра, характеризующего инерционные свойства тела способного вращаться.

Так как произвольное движение твердого тела состоит из поступательного и вращательного движений, его полная кинетическая энергия определяется выражением:

.

Здесь - момент инерции тела относительно оси проходящей через его центр инерции,

-скорость поступательного движения центра инерции тела.

На вопрос как связан момент инерции тела относительно произвольной оси () с моментом инерции относительно оси проходящей через центр инерции тела () если эти оси параллельны дает ответ теорема Штейнера.

Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг некоторой оси , не проходящей через его центр инерции и находящейся от центра инерции на расстоянии . Для этого случая кинетическая энергия будет составлять величину:

,

где момент инерции тела относительно оси .

С другой стороны, движение тела можно рассматривать как совокупность поступательного движения центра массы вокруг оси со скоростью и вращательного движения вокруг оси , параллельной оси и проходящей через центр инерции тела, со скоростью .

В этом случае выражение для кинетической энергии будет иметь вид:

.

Так как , где -расстояние на которое была сдвинута ось, получаем:

Сравнение этого выражения с выражением показывает, что

.

Итак, момент инерции относительно данной оси равен моменту инерции относительно оси , проходящей через центр инерции и параллельной данной, плюс момент инерции центра массы тела относительно оси .

Из представленного выражения видно, что момент инерции минимален, если ось предполагаемого вращения проходит через его центр инерции.

Дата добавления: 2014-12-29