Функция нескольких переменных

Пусть X,Y и Z – некоторые числовые множества, являющиеся подмножествами действительных чисел из R. Действительной функцией двух переменных называется функция f: X ´ Y ® Z, ставящая в соответствие каждой упорядоченной паре (x, y) из множества X ´ Y единственное число f(x, y) Î Z. Число z = f(x, y) называют значением функции f в точке (x, y). Переменную z называют зависимой переменной, а переменные x и y – независимыми переменными (или аргументами). Множество X ´ Y называется областью определения функции f, а множество {z: $ (x, y) Î X ´ Y, z = f(x, y)} Í Z называется областью значений функции f.

Понятие действительной функции нескольких переменных является естественным обобщением понятия действительной функции одной переменной. Мы ограничимся случаем двух переменных, поскольку расширение рассмотрения на случай произвольного конечного числа переменных вполне очевидно и связано, как правило, с излишней громоздкостью изложения.

Пусть задана числовая последовательность точек из множества X ´ Y, т.е. последовательность упорядоченных пар чисел {(x_n, y_n)}, n = 1, 2, …

Говорят, что последовательность точек {(x_n, y_n)}, n = 1, 2, … сходится к точке (A, B) Î X ´ Y, если для любого e > 0 существует натуральное число N такое, что для всех n > N выполняется неравенство .

Сходящуюся последовательность точек обозначают как или . Из сходимости последовательности точек следует сходимость компонентных последовательностей, т.е. , и наоборот.

Понятия предела и непрерывности для действительной функции одной переменной также естественно обобщаются на случай действительной функции нескольких переменных.

Число А называется пределом функции f(x, y) = z в точке (x₀, y₀), если для любой сходящейся к (x₀, у₀) последовательности точек {(x_n, y_n)}, n = 1, 2, …, , соответствующая последовательность значений функции {f(x_n, y_n)}, n = 1, 2, … сходится к А, что обозначается как .

Читателю предлагается самостоятельно сформулировать эквивалентное понятие предела функции двух переменных на языке окрестностей, в духе критерия Коши.

Действительная функция двух переменных f: X ´ Y ® Z непрерывна в точке (x₀, y₀) Î X ´ Y, если для любой сходящейся к (x₀, y₀) последовательности точек {(x_n, y_n)}, n = 1, 2, …, , соответствующая последовательность значений функции {f(x_n, y_n)}, n = 1, 2, … сходится к значению функции в точке (х₀, y₀), т.е. .

Это определение непрерывности функции двух переменных в точке также предлагается читателю перевести в эквивалентную форму на языке окрестностей.

Обратим внимание на следующее обстоятельство, не имеющее аналога в случае функции одной переменной. Функция f двух переменных, непрерывная в точке (x₀, y₀), называется также непрерывной в этой точке по совокупности переменных x, y; наряду с этой непрерывностью используют понятие непрерывности по отдельным переменным.

Зафиксируем значение второго аргумента y₀ и будем рассматривать точки вида (x, y₀), х Î Х. Ясно, что при этом функция двух переменных f(x, y) = z превращается, по существу, в функцию f(x, y₀) одной переменной х_.

Функция двух переменных f(x, y) = z называется непрерывной в точке (x₀, y₀) по переменной х, если в точке х₀ непрерывна функция f(x, y₀), рассматриваемая как функция одной переменной х. Аналогично определяется непрерывность в точке (x₀, y₀) по переменной y.

Оказывается, что функция f: X ´ Y ® Z может быть непрерывной в точке (x₀, y₀) по каждой переменной x, y в отдельности, но одновременно не быть непрерывной в этой точке по совокупности переменных.

Пример 1.10.

Рассмотрим функцию двух переменных , доопределив ее в точке (0, 0) нулевым значением, т.е.f(0,0)=0. Ясно, что f(x,y) определена в любой точке множества R ´ R. Исследуем ее непрерывность в точке (0, 0).

Обе функции одной переменной f (x, 0) и f (0, y), определенные на соответствующих координатных осях (f(x, 0) – на оси абсцисс, f(0, y) – на оси ординат), тождественно равны на них нулю. Поэтому функция f(x,y) непрерывна в точке (0, 0) по каждой своей переменной x и y.

Однако она не является непрерывной в точке (0. 0) по совокупности переменных. Действительно, будем приближаться к точке (0,0) – началу координат- по лучу y = kx, k ¹ 0. Вдоль этого луча значение функции равно , т.е. n

Дата добавления: 2014-12-29