Построить биссектрису данного угла

Из вершины А данного угла как из центра описываем окружность произвольного радиуса (рис. 15). Пусть В и С - точки ее пересечения со сторонами угла. Из точек В и С описываем окружности одного радиуса. Пусть D - точка их пересечения, отличная от А. Тогда полупрямая АD и есть биссектриса угла А. Докажем это. Для этого рассмотрим треугольники АВD и АСD. Они равны по трем сторонам. Отсюда следует равенство соответствующих углов DАВ и DАС, т.е. луч АD делит угол ВАС пополам и, следовательно, является биссектрисой.

5. Через данную точку провести прямую, перпендикулярную данной прямой.

Пусть даны точка О и прямая а. Возможны два случая:

1) точка О лежит на прямой а;

2) точка О не лежит на прямой а.

В первом случае построение выполняется так же, как и в задаче 4, потому что перпендикуляр из точки О, лежащей на прямой, - это биссектриса развернутого угла (рис. 16).

Во втором случае из точки О как из центра проводим окружность, пересекающую прямую а (рис. 17), а затем из точек А и В тем же радиусом проводим еще две окружности. Пусть О' - точка их пересечения, лежащая в полуплоскости, отличной от той, в которой лежит точка О. Прямая 00' и есть перпендикуляр к данной прямой а. Докажем это.

Обозначим через С точку пересечения прямых АВ и ОО'. Треугольники АОВ и АО'В равны по трем сторонам. Поэтому угол ОАС равен углу О'АС и, значит, треугольники ОАС и О'АС равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда их углы АСО и АСО' равны. А так как углы смежные, то они прямые. Таким образом, ОС есть перпендикуляр к прямой а.

Дата добавления: 2014-12-29