Суть статистичного зведення. Види зведення 7 страница

Таблиця 11.3.

Окремі значення коефіцієнта довіри та ймовірності

Коефіцієнт довіри (t)	1,0	1,6	2,0	2,2	2,5
Імовірність	0,683	0,89	0,954	0,972	0,987	0,997

Гранична помилка – це максимально можлива помилка для взятої ймовірності, тобто розмір граничної помилки вибірки залежить від того, з якою імовірністю вона розраховується.

Таблиця 11.4.

Формули для розрахунку граничних помилок вибірки

Спосіб відбору	Метод відбору
повторний	безповторний
помилка вибірки для середньої величини
Простий випадковий та систематичний (механічний)
Серійний (гніздовий)	=	=
Типовий (розшарований, районований)	=	=
помилка вибірки для частки
Простий випадковий та систематичний (механічний)
Серійний (гніздовий)
Типовий (розшарований, районований)

Так як чисельність вибіркової сукупності () менше чисельності генеральної сукупності (, то додатковий множник або буде завжди менше одиниці. Тому помилка вибірки при безповторному способі також завжди менша, ніж при повторному відборі.

За допомогою граничної помилки вибірки можна визначити довірчі межі генеральної середньої і частки з певною імовірністю, тобто вона дає можливість встановити, в яких межах лежить значення генеральної середньої або частки (довірчий інтервал):

– довірчий інтервал для середньої величини;

– довірчий інтервал для частки.

При проведенні статистичного аналізу часто постає потреба порівняти помилки вибірки різних ознак або однієї і тієї самої ознаки в різних сукупностях. Такі порівняння виконують за допомогою відносної помилки, яка показує, на скільки відсотків вибіркова оцінка може відхилятися від параметра генеральної сукупності.

Відносна помилка для середньої визначається за формулою:

Vμ = .

Також її розмір можна визначити на основі квадратичного коефіцієнта варіації, у даному випадку формули приймають наступний вигляд:

для повторної вибірки Vμ ;

для безповторної вибірки Vμ .

Відносну помилку вибірки для частки розраховують за формулою:

Vμ .

На практиці достатнім рівнем точності вважається Vμ ≤ 10 %.

11.4. Порядок визначення необхідної чисельності вибірки

При організації вибіркового спостереження слід звернути увагу на те, що розмір помилки вибірки залежить від багатьох факторів. Одним з таких факторів є чисельність вибіркової сукупності, тому однією із задач вибіркового методу є визначення оптимальної чисельності вибірки ().

Питання про оптимальну чисельність вибірки має важливе практичне значення, тому що збільшення відсотка вибірки призводить до зростання обсягів дослідницьких робіт, додаткових витрат праці та матеріальних витрат. З іншого боку, якщо взяти недостатню кількість проб, то результати досліджень можуть мати великі погрішності. Ці умови обов’язково слід враховувати при організації вибіркового спостереження.

Необхідну чисельність вибірки, яка із заданою імовірністю забезпечує очікувану точність вибіркових показників, можна визначити на основі перетворення формул граничної похибки вибірки при різних способах відбору.

Розглянемо порядок обчислення необхідної чисельності вибірки тільки для простого випадкового методу, який є найбільш поширеним у практиці вибіркового методу.

Таблиця 11.5.

Формули для обчислення необхідної чисельності вибірки при простому випадковому способі відбору одиниць у вибіркову сукупність

Метод відбору	Для середньої величини	Для частки
Повторний
Безповторний

11.5. Питання для самоперевірки

1) В чому полягає суть вибіркового спостереження?

2) Назвати переваги вибіркового спостереження перед суцільним.

3) Дайте визначення генеральної сукупності.

4) Що розуміється під вибірковою сукупністю?

5) Перелічіть основні способи відбору одиниць у вибіркову сукупність.

6) Дайте характеристику простому випадковому способу відбору одиниць у вибіркову сукупність.

7) При якому способі передбачається відбір одиниць цілими групами сукупності, в межах яких обстежують всі одиниці без винятку?

8) Вкажіть методи відбору одиниць у вибіркову сукупність.

9) Чим відрізняється повторний відбір від безповторного?

10) До якого методу відбору слід віднести відібрану одиницю, яка повертається в сукупність і може знову потрапити у вибірку?

11) Який спосіб відбору одиниць у вибіркову сукупність є класичним?

12) Що означає помилка вибірки? Вказати види помилок вибірки.

13) Дайте характеристику стандартної та граничної помилки вибірки, вказати зв’язок між ними.

14) Чим відрізняється випадкова помилка вибірки від систематичної?

15) Вкажіть які два типи оцінок параметрів генеральної сукупності використовують при вибірковому методі? Дайте їх характеристику.

16) Вкажіть формули для розрахунку граничної помилки вибірки при простому випадковому способі відбору одиниць у вибіркову сукупність:

а) для середньої величини;

б) для частки.

17) Від чого залежить коефіцієнт довіри?

18) Що характеризує довірчий інтервал?

19) У яких випадках удаються до розрахунку відносної помилки вибірки та що вона показує?

20) Вказати формули для розрахунку відносних помилок вибірки.

21) Як визначають необхідну чисельність вибірки для середньої і частки в разі повторного та безповторного відбору?

Глава 12. Перевірка статистичних гіпотез

12.1. Основні поняття

Статистичні гіпотези – це припущення про вигляд розподілу гене­ральної сукупності або про параметри відомих розподілів, якщо відома вибірка з гене­ральної сукупності. Суть перевірки гіпотез полягає в тому, щоб визначити, узгоджуються чи ні ре­зультат вибірки з гіпотезою, випадковими чи невипадковими є розбіжності між гіпотезою і даними вибірки.

Найчастіше гіпотеза, яку належить перевірити, формулюється як відсутність розбіжності (нульова розбіжність) між невідомим параметром генеральної сукупності G і заданою величиною А, а тому її позначають H ₀. Зміст гіпотези записують після двокрапки, наприклад H ₀: G=А.

Кожній нульовій гіпотезі протиставляють альтернативну Н_a. При формулюванні Н_a враховується вагомість відхилень (G-А): для додатних відхилень Н ₁: G > А,для від’ємних – Н ₁: G < А,для тих і інших – Н ₁: G ≠ А.

Наприклад, як­що H ₀: випадкова величина X роз­по­ді­ле­на за нормальним законом, то H ₁: випадкова величина X не розподіле­на за нормальним законом.

Якщо вибіркові дані суперечать гіпотезі H ₀, вона відхиляється, коли ці дані узгоджуються з гіпотезею Н₀, вона приймається. При цьому за да­ни­ми випадкової вибірки можна зробити хибний висновок. Похибкимо­жуть бути пер­шо­го або дру­го­го роду. Якщо за висновком бу­де відкинута правильна гіпотеза, то кажуть, що це похибка І роду. Ймовірність здій­снити по­хиб­ку першого роду по­зна­чають a і називають рівнем зна­чу­щості. Якщо ж за висновком буде прийнята непра­виль­на гіпотеза, то кажуть, що це похибка ІІ роду. Ці висновки конкуруючі, і зменшення ймовірності α одного зумовлює збільшення ймовірності β іншо­го. Оскільки уникнути похибки неможливо, а наслідки їх, як пра­вило, різновагомі, то в кожному конкретному дослідженні праг­нуть мінімізувати ту похибку, яка пов’язана з більшими втра­тами. Ймовірності похибок наведено в табл. 12.1.

Таблиця 12.1.

Ймовірність ризиків помилкових рішень при перевірці гіпотез

Правильна гіпотеза	Прийнята гіпотеза
Н0	Н 1
Н0	1 – α	α
Нa	β	1 – β

Правило, за яким гіпотеза Н₀ відхиляється або приймається, називається статистичним критерієм. Математичною основою будь-якого критерію є статистична характеристика Z з відомим розподілом, значення якої визначається за даними вибірки. Кожне значення характеристики Z має певну ймовірність F (Z). Якщо вибіркове значення Z малоймовірне, гі­потеза Н ₁відхиляється.

Межу малоймовірності Z називають рівнем значущості α. Очевидно, що α – це ймовірність похибки І роду, а тому залежно від змісту гіпотези Н₀ і наслідків її відхилення рівень значущості визначають у кожному конкретному дослідженні. Зазвичай виби­рають один із рівнів α, для яких табульовані значення статистич­них характеристик критеріїв. Це α = 0,10; 0,05; 0,025; 0,01.

Значення статистичної характеристики критерію Z_1-α поділяє множину вибіркових значень Z на дві частини: а) область прийняття гіпотези і б) критичну область. Якщо вибіркове значення Z потрапляє у критичну область, гіпотеза Н₀ відхиляється, якщо в область прийняття гіпотези — приймається. Саме тому зна­чення Z_1-α називають критичним.

Рис. 12.1. Лівостороння та двостороння критичні області

Залежно від того, як сформульована альтернативна гіпотеза, критична область може бути односторонньою (ліво- чи правосторонньою) або двосторонньою (рис. 12.1).

12.2. План перевірки статистичних гіпотез

1. Формулюють нульову Н₀ та альтернативну Н ₁гіпотези;

2. Вибирають статистичну характеристику Z, за значеннями
якої перевіряють правильність гіпотези Н₀;

3. Визначають рівень значущості α і відповідне йому критичне
значення Z _1-α; залежно від формулювання гіпотез Н₀ і Н ₁крити­чна область може бути одно- або двосторонньою;

4. За результатами вибірки розраховують фактичне (вибірко­ве) значення статистичної характеристики Z, яке порівнюють з
критичним Z _1-α; якщо Z > Z _1-α, гіпотеза Н₀ відхиляється, при
Z < Z _1-α – приймається.

12.3. Критерії

1. Критерій Пірсона (c²).

Для перевірки гіпотези про розподіл генеральної сукупності засто­со­вують критерій Пірсона (χ²).Для перевірки основної гіпотезу H ₀ про те, що генеральна сукупність розподілена нормально (при заданому рівні значу­що­сті a), треба

1) обчислити теоретичні частоти n для варіант вибірки;

2) обчислити спостережене значення критерію c² за формулою

;

3) знайти ступінь свободи за формулою k = m – 3 (m – кількість варіантів вибірки або часткових інтервалів варіант);

4) в таблиці знайти критичну точку , яка відповідає заданому рівню значу­щості a та ступенем свободи k;

5) якщо , то гіпотезу H ₀ треба прийняти; якщо , то гіпотезу H ₀ треба відхилити.

2. Закон Ст’юдента.

Нехай є дві нормально розподілені генеральні сукупності, що ма­ють рівні дисперсії, а математичні сподівання, взагалі кажучи, різні. Із сукупностей зробимо вибірки об’єму відповідно n ₁ та n ₂ і знайдемо вибіркові середні та , а також виправлені дисперсії S ₁ та S ₂ відповідно. Перевіримо гіпотезу H ₀: a ₁ – a ₂ = c ₀ (H ₁: a ₁ – a ₂ ¹ c ₀).

Для цього за вибіркову функцію візьмемо функцію

,

яка розподілена за законом Ст’юдента зі ступенями волі, що дорівнює n ₁ + n ₂ –2. Для заданого рівня значущості a за допомогою таблиць можна знайти критичну область для статистич­ної характе­рис­ти­ки n з врахуванням альтернативної гіпотези H ₁.

12.4. Приклад перевірки статистичної гіпотези

Порядок перевірки статистичних гіпотез розглянемо на прикладі співвідношення середніх двох сукупностей. Припустимо, ведеться вибірковий контроль тривалості служби деталей одного виду, виго­товлених за різними технологіями. Контролю піддано 5 деталей, ви­готовлених за старою технологією, і 4 – за новою, тобто п ₁ = 5, п ₂ = 4. Вибіркові оцінки середніх і дисперсій відповідно становили: = 580 год. при = 308; = 612 год. при = 329.

Різниця між середніми ( – )= (612 – 580) = 32 год.

Потрібно визначити, чи істотна ця різниця, тобто чи зумовлена вона відмінностями технологій, чи випадкова. Нульова гіпотеза формулюється на припущенні, що відхилення середніх випадкові Н₀: = . Альтернативна гіпотеза передбачає, що нова технологія збільшує тривалість служби деталі: Н_a: > . За такого формулю­вання Н_a виконується одностороння (правостороння) перевірка.

Статистичною характеристикою гіпотези Н₀: = є нормо­ване відхилення середніх

,

яке підпорядковане розподілу Ст’юдента з числом ступенів сво­боди .

У нашому прикладі = 5 + 4–2 = 7; оцінка дисперсії розрахо­вується як середня арифметична зважена з дисперсій, що харак­теризують варіацію тривалості служби деталей за кожною техно­логією

;

значення t -критерію

.

Перевіримо гіпотезу Н₀ проти Н ₁з рівнем значущості α = 0,05. За даними табл. 12.2 критичне значення t ₀,₉₅(7) = 1,89, що менше за фактичне (t = 2,37). Отже, нульова гіпотеза Н₀: = відхиля­ється, і з імовірністю 0,95 можна стверджувати, що нова техноло­гія збільшує термін служби деталей.

Таблиця 12.2.

Значення квантілів розподілу t розподілу Стьюдента α = 0,05

Число ступенів свободи	Для критерію
двостороннього	одностороннього
	2,78 2,57 2,45 2,38 2,31 2,23 2,13 2,09 2,04 1,96	2,13 2,01 1,94 1,89 1,86 1,81 1,75 1,73 1,70 1,64

У разі двосторонньої перевірки гіпотези, коли Н_a: ≠ ,використовують критичне значення для , наприклад при α = 0,05 це буде t ₀,₉₇₅().

Процедура перевірки гіпотез використовується при порівнянні вибіркових характеристик (середньої, частки, дисперсії) з відпо­відними нормативами, порівнянні характеристик двох вибіркових сукупностей, оцінюванні істотності розбіжностей двох розподі­лів, у дисперсійному та кореляційному аналізі.

12.5. Питання для самоперевірки

1) Що називають статистичною гіпотезою?

2) Яким чином визначаються похибки першого та другого роду?

3) Дайте визначення понять: „критерій”, „критична область”, „область прийняття гіпотези”, „критичні точки критерію”.

4) Наведіть план перевірки статистичних гіпотез.

5) Для яких випадків використовують критерій Пірсона?

6) Як виконати перевірку гіпотези про розподіл генеральної сукупності засто­со­вуючи критерій Пірсона?

7) В яких випадках користуються критерієм Ст’юдента?

8) Як виконати перевірку гіпотези про розподіл генеральної сукупності засто­со­вуючи критерій Ст’юдента?

9) У яких випадках використовується процедура перевірки гіпотез?

Глава 13. Подання статистичних даних: таблиці, графіки, карти

13.1. Загальне поняття про статистичні таблиці, їх значення, основні вимоги щодо побудови статистичних таблиць

Унаслідок опрацювання даних різних видів статистичних спостережень отримують багато цифрового матеріалу, який подають у таблицях або у вигляді графіків.

Статистичні таблиці призначені для найбільш раціонального, систематизованого відображення статистичних даних про досліджувані явища та процеси за допомогою цифр, розташованих у певному порядку.

Таблиця являє собою такий спосіб подання інформації, при якому цифровий або текстовий матеріал групується в рядки і графи, відокремлені одна від іншої вертикальними та горизонтальними лініями.

Значення статистичних таблиць полягає в тому, що вони дають змогу охопити матеріали статистичного зведення в цілому та суттєво полегшити їх порівняння та аналіз.

Будь-яка статистична таблиця складається з двох складових елементів, які наведені на рис.13.1.

Підмет - це об’єкт дослідження

Присудок - це показники, які характеризують підмет як об’єкт дослідження

Рис. 13.1. Складові елементи статистичних таблиць

У практиці статистико-економічних досліджень використовують таблиці різної складності, що залежить від мети та особливостей об’єкта дослідження, обсягу наявної інформації. Види таблиць, які використовуються при проведенні статистичного аналізу, наведено на рис.13.2.

Рис. 13.2. Класифікація статистичних таблиць за різними ознаками

У простих статистичних таблицях підметне має групувань, підмет таких таблиць становить перелік елементів сукупності, територіальний або хронологічний ряд. Часто використовують територіально-хронологічні таблиці. Прикладом такого виду таблиць є розподіл чисельності населення за декілька періодів часу за регіонами країни.

У групових статистичних таблицях підмет поділяється на окремі групи за однією з істотних ознак. До найпростішого виду групових таблиць можна віднести розподіл населення країни за статтю.

У комбінаційних таблицях підмет поділяється на окремі групи за двома і більше ознаками, взятими у комбінації. До прикладу такого виду таблиць слід віднести розподіл чисельності населення країни водночас за місцем проживання та статтю.

Аналітичні таблиці є результатом обробки й аналізу цифрових показників. До неаналітичних таблиць вміщують здебільшого необроблені статистичні дані, необхідні лише для подання інформації або констатації певного стану речей.

Для статистичних таблиць найвідповідальнішим моментом є розробка присудка. Статистичний присудок, об’єктивно перебуваючи в діалектичному взаємозв’язку із статистичним підметом таблиці, має бути представлений таким чином, щоб можна було б одержати повну характеристику виділених груп, охарактеризувати їхні істотні особливості. Лише такий органічний зв’язок цих двох складових робить таблиці єдиним цілим, що дає змогу виконати цілу низку завдань у статистичному дослідженні.

Складання статистичної таблиці має два етапи. На першому проектується макет таблиці, на другому – таблиця заповнюється статистичними даними. Макет статистичної таблиці наведено на рис. 13.3.

Таблиця 13.1.

Головка Назва таблиці

Внутрішній заголовок, що розкриває зміст підмету
А
Підсумок

Підзаголовки граф

Заголовки рядків (боковик) Заголовки граф

Рис. 13.3. Макет побудови статистичної таблиці

При побудові статистичних таблиць необхідно дотримуватися основних правил та вимог:

► Кожна таблиця повинна мати назву, яку розміщують над нею і друкують симетрично до тексту. Назву таблиці починають з великої літери. Назву наводять жирним шрифтом.

► Таблиці не треба робити громіздкими та перевантажувати деталями. Інколи доцільно замість однієї великої таблиці побудувати декілька пов’язаних, логічно послідовних таблиць. У даному випадку таблиці слід нумерувати. Номер таблиці приводять над її назвою у правому верхньому куті. Слово „Таблиця” починають з великої літери. Порядковий номер таблиці вказує на номер розділу та номер таблиці у даному розділі.

► За логікою побудови таблиці її підмет розміщують у боковику. Боковик, як і головка, вимагає лаконічності. Повторювальні слова тут виносять в об’єднувальні рубрики; загальні для всіх заголовків боковика слова розміщують у заголовку над ним.

► Заголовки граф пишуть з великої літери, підзаголовки – з малої, якщо вони складають одне речення із заголовком, і з великої, якщо вони є самостійними.

Дата добавления: 2014-12-29