Конечные разности

Интерполирование при равноотстоящих узлах

Будем предполагать, что заданы табличные значения функции , где – равноотстоящие узлы, – шаг таблицы.

Введем понятие конечной разности

(2.47)

Исследуем влияние погрешности табличных значений на погрешность конечных разностей. Пусть все заданы с одинаковой абсолютной погрешностью В силу формулы (2.47) конечная разность 1-го порядка будет вычислена с погрешностью , конечная разность 2-го порядка – с погрешностью , и далее конечная разность s- го порядка вычисляется с погрешностью

Если функция гладкая, то разности убывают с ростом j и для некоторого они незначительно отличаются между собой, а при разности практически равны нулю. Так как с ростом порядка конечных разностей растет их погрешность, то таблица разностей искажается. Запишем правило определения максимального порядка разностей, которые ведут себя правильно. Если

и (2.48)

то максимальный порядок разностей, которые ведут себя правильно, равен j (или максимальный порядок правильных конечных разностей равен j). Конечные разности -го порядка уже меньше погрешности, с которой они вычисляются, поэтому их использование приводит к искажению результата.

В дальнейшем нам потребуются свойства разделенных разностей.

Свойство 1:

. (2.49)

Доказательство этого свойства можно выполнить достаточно просто методом математической индукции.

Замечание 2.1. Ранее было доказано, что разделенные разности являются симметричными функциями своих аргументов (см. п. 2.5, следствие 1), поэтому нижний индекс конечной разности в (2.49) определяется по минимальному номеру узлов, используемых для вычисления разделенной разности.

Свойство 2: Если функция имеет на интервале непрерывные производные порядка n и имеется таблица значений этой функции на этом интервале, то существует такая точка , для которой справедливо равенство

(2.50)

Доказательство соотношения (2.50) следует из свойства 1 (формула 2.49) и формулы (2.28).

2.12.2. Интерполирование в начале и конце таблицы

Пусть нам дана таблица значений функции для узлов , необходимо вычислить значение интерполяционного многочлена в точке x, которая находится вблизи начала таблицы, т.е. вблизи точки . Воспользуемся формулой Ньютона для неравноотстоящих узлов (2.24):

(2.51)

Введем новую переменную , учитывая формулу (2.49), получим 1-ю интерполяционную формулу Ньютона (для интерполирования вперед):

(2.52)

Остаточный член для этой формулы получим из (2.12) и с учетом замены переменной:

(2.53)

Пусть точка x находится вблизи конца таблицы т.е. вблизи узла . Интерполяционные узлы будем привлекать в обратном порядке: . Тогда формула Ньютона для неравноотстоящих узлов примет вид

(2.54)

Введем переменную и учитывая формулу (2.49) и замечание 2.1 получим 2-ю интерполяционную формулу Ньютона (для интерполирования назад)

(2.55)

Остаточный член для этой формулы будет следующим

(2.56)

2.12.3. Формулы Гаусса

Пусть требуется вычислить значение интерполяционного многочлена в точке x, для которой ближайшим является узел , расположенный в середине таблицы. Сначала будем предполагать, что . В интерполяционную формулу Ньютона узлы будем привлекать в следующем порядке: т.е. каждый раз привлекается ближайший к точке узел. Тогда формула Ньютона для интерполирования в точке будет иметь вид

. (2.57)

Учитывая формулу (2.49) и замечание 2.1, а также введя переменную из (2.57), получим 1-ю формулу Гаусса (для интерполирования вперед):

(2.58)

Остаточный член для 1-ой формулы Гаусса (2.58) имеет вид:

(2.59)

Если 1-я формула Гаусса является многочленом нечетной степени, то остаточный член будет следующим

(2.60)

Вторая формула Гаусса получается при интерполировании в середине таблицы, в случае когда (узел является ближайшим к точке ). При этом порядок подключения узлов в интерполяционную формулу выбирается следующим: (каждый раз привлекается ближайший к точке узел). Поступая также как и в случае вывода 1-й формулы Гаусса, учитывая формулу (2.49), замечание 2.1, а также введя переменную , из формулы Ньютона для неравноотстоящих узлов

получим 2-ю формулу Гаусса (для интерполирования назад):

(2.61)

Остаточный член для 2-ой формулы Гаусса четной степени имеет вид (2.59), а для многочлена нечетной степени будет следующим:

(2.62)

2.12.4. Формулы Стирлинга и Бесселя

Известно, что уменьшение степени аппроксимирующего многочлена без потери точности иногда можно достигнуть, образуя линейные комбинации интерполяционных многочленов. Простейшим из таких многочленов является многочлен Стирлинга. Этот многочлен является полусуммой 1-ой и 2-ой формул Гаусса:

(2.63)

Учитывая выражения для формул Гаусса (2.58), (2.61), а также то, что многочлены Стирлинга рекомендуется использовать для нечетной степени относительно , получим следующее выражение:

(2.64)

Многочлен (2.64) называется формулой Стирлинга, ее используют для аппроксимации в середине таблицы при Остаточный член для формулы Стирлинга равен полусумме остаточных членов (2.60), (2.62).

Многочлен Бесселя также используется для аппроксимации в середине таблицы. Эта формула определяется из соотношения:

(2.65)

где , , т.е. Учитывая выражения для формул Гаусса (2.58), (2.61), а также то, что многочлены Бесселя рекомендуется использовать для четной степени относительно , в силу формулы (2.65) получим следующее выражение

(2.66)

Многочлен (2.66) называется формулой Бесселя, его используют для аппроксимации в середине таблицы при .

Остаточный член для формулы Бесселя равен полусумме остаточных членов соответствующих формул Гаусса и имеет вид:

(2.67)

2.12.5. Оценки погрешности метода и неустранимой погрешности

Если задано аналитическое выражение функции , которая аппроксимируется с помощью интерполяционного многочлена, то оценку погрешности метода можно получить по соответствующему остаточному члену. Например, учитывая выражение остаточного члена (2.53), погрешность метода для 1-ой формулы Ньютона имеет вид:

(2.68)

где . Если функция неизвестна, то для оценки величины можно воспользоваться формулой

(2.69)

которая следует из второго свойства конечных разностей (2.50). Иногда в качестве грубой оценки погрешности метода используют модуль первого не равного нулю отбрасываемого слагаемого в интерполяционной формуле. Если табличные значения функции заданы с одинаковой погрешностью , то неустранимая погрешность для 1-ой формулы Ньютона равна

. (2.70)

Слагаемых в формуле (2.70) должно быть столько же, сколько в самой интерполяционной формуле.

Аналогично определяются погрешности и для 2-ой формулы Ньютона, формул Гаусса, Стирлинга и Бесселя.

Пример. 2.11. Пусть дана таблица значений функции при равноотстоящих узлах

Таблица 2.5.

		0,2	0,4	0,6	0,8	1,0
	1,1235	0,4325	0,5342	0,5441	0,2462	0,3345

Требуется вычислить значение функции, заданной таблично с шагом , в точке . Необходимо также оценить погрешность метода, неустранимую погрешность, полную погрешность, считая, что табличные значения функции заданы с верными знаками. Требуется также записать результат аппроксимации с верными знаками (в узком смысле).

Построим сначала таблицу конечных разностей

Таблица 2.6.

-0,6910	0,7927	-0,8845	0,6685	0,2415
0,1017	-0,0918	-0,2160	0,9100
0,0099	-0,3078	0,6940
-0,2979	0,3862
0,0883

Так как точка находится вблизи средины таблицы, воспользуемся формулами для аппроксимации в средине таблицы. Ближайшим к точке является узел при . Вычислим значение переменной . В силу того, что , выбираем для аппроксимации формулу Стирлинга 3-ей степени:

.

Остаточный член определится как полусумма соответствующих остаточных членов 1-ой и 2-ой формул Гаусса:

.

Тогда погрешность метода оценивается по формуле

,

где

.

Вычислим неустранимую погрешность, обусловленную неточностью исходных данных. В нашем случае, погрешность табличных значений функции будет равна половине последнего правильного разряда (см. п. 1.3). По аналогии с формулой (2.70), для формулы Стирлинга определится по формуле

.

Подставив значения, получим следующие результаты:

,

,

,

,

.

Тогда результат, записанный с верными десятичными разрядами, будет следующим: .

Дата добавления: 2014-12-29