Построение интерполяционных многочленов

Аппроксимация функций многих переменных

При решении задач обработки данных часто возникает задача аппроксимации функций многих переменных . В частном случае для функции двух переменных , можно задать эту функцию в виде следующей таблицы:

Таблица 2.14.

Здесь , а узлы , , , могут быть как неравноотстоящими так и равноотстоящими (, ). Кроме того точки на плоскости могут быть расположены достаточно произвольно (некоторые ограничения на расположение точек все таки должны выполняться (см. ниже)), тогда их удобно обозначать следующим образом:

.

Рассмотрим задачу построения многочлена первой степени по двум переменным:

. (2.155)

Потребуем, чтобы значение многочлена со значениями функции совпадали в трех точках

(). (2.156)

Тогда значения коэффициентов , , определятся из системы линейных алгебраических уравнений

,

которая в векторно-матричном виде имеет вид:

.

Решение этой системы существует и является единственным, если три точки , и не лежат на одной прямой, так как в этом случае определитель матрицы системы не равен нулю.

Многочлен второй степени для двух переменных имеет вид:

. (2.156)

Тогда, если заданы значения функции в шести точках

(), (2.157)

то можно сформировать систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов , , , , , . Эта система в векторно-матричном виде будет иметь вид:

. (2.158)

Решение системы (2.158) будет существовать и является единственным, если 6 точек () () не лежат на кривой 2-го порядка.

По аналогии можно построить интерполяционный многочлен для двух переменных степени

. (2.159)

Число неизвестных коэффициентов в этом случае равно . Число узлов должно быть такое же. Если велико, то для построения многочлена необходимо решить систему линейных алгебраических уравнений высокого порядка. Если число узлов меньше чем , то часть коэффициентов приходится задавать произвольно, а это приведет к потере точности.

В случае, когда исходные данные даны в виде таблицы 2.14. можно вычислить значение интерполяционного многочлена степени () по формуле Лагранжа (узлы по переменным и могут быть неравноотстоящими):

. (2.160)

Пользоваться этой формулой достаточно неудобно и поэтому она редко используется. Кроме того, возникают существенные трудности при оценке остаточного члена, так как в этом случае теорема Ролля не будет справедлива.

Можно также построить интерполяционные многочлены Ньютона. В частном случае, когда узлы в таблице 2.14 равноотстоящие и , , построим интерполяционный многочлен Ньютона 2-ой степени для двух переменных. Этот многочлен будет иметь вид:

. (2.161)

Здесь , и по аналогии с конечными разностями используются частные конечные разности первого и второго порядка:

.

Дата добавления: 2014-12-29