Численное дифференцирование

Задания к главе 2

Контрольные вопросы

1. Какая система базисных функций называется системой Чебышева?

2. Выведите формулу Лагранжа.

3. Объясните принцип расчета по схеме Эйткена.

4. Выведите формулу для остаточного члена формулы Лагранжа с использованием теоремы Ролля.

5. Как вычисляются разделенные разности, и какие они имеют свойства?

6. Выведите формулу Ньютона для случая неравноотстоящих узлов.

7. Выведите формулу для остаточного члена формулы Ньютона.

8. Дайте определение многочлену Чебышева и перечислите его свойства.

9. Докажите, что многочлен Чебышева является наименее отклоняющимся от нуля на интервале .

10. Будут ли отличаться интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона, построенные для одной и той же таблицы исходных данных?

12. Проходит ли график интерполяционного многочлена, построенный на интервале интерполирования через все табличные точки?

13. Какие точки выбираются в качестве узлов интерполирования для многочлена Лагранжа для того, чтобы он имел минимальную погрешность?

14. Дайте определение интерполяционного сплайна.

15. Обязательно ли должен проходить через все табличные точки график интерполяционного сплайна?

16. Как определяется степень сплайна?

17. Как определяется дефект сплайна?

18. Чем отличаются интерполяционные кубические сплайны от Эрмитова сплайна 3-го порядка?

19. Как определяются коэффициенты аппроксимирующего многочлена, построенного по методу наименьших квадратов?

20. Для чего в методе наименьших квадратов используются в качестве базиса системы ортогональных функций?

21. Какими свойствами обладает матрица Грамма?

22. Обязательно ли должен проходить через все табличные точки график функции, построенной на основе метода наименьших квадратов?

23. Как вычисляются конечные разности, и какие они имеют свойства?

24. Укажите, какому неравенству удовлетворяет правильная конечная разность -го порядка, если – абсолютная погрешность табличного значения функции?

25. Выведите 1-ю формулу Ньютона.

26. Выведите 2-ю формулу Ньютона.

27. Выведите 1-ю формулу Гаусса.

28. Выведите 2-ю формулу Гаусса.

25. Выведите формулу Стирлинга.

25. Выведите формулу Бесселя.

26. Как определяется погрешность метода при интерполяции с равноотстоящими узлами?

26. Как определяется неустранимая погрешность при интерполяции с равноотстоящими узлами?

27. Укажите, какую интерполяционную формулу можно использовать для аппроксимации функции заданной таблично в точке при равноотстоящих узлах , , , , , (ответ необходимо дать для следующих значений точки : а) ; б) ; в) ; с) )?

28. Как строится интерполяционный многочлен Ньютона 2-ой степени для интерполяции функции двух переменных?

29. Как осуществляется аппроксимация функций многих переменных по методу последовательного интерполирования?

30. Как осуществляется аппроксимация по методу МНК для функций многих переменных?

Задание 2.1. Найти приближенное значение функции по таблице значений этой функции, используя формулу Лагранжа. Считая, что табличные значения заданы с верными знаками, оценить неустранимую погрешность результата. Построить график многочлена Лагранжа с табличными значениями функции, отмеченными символом «*».

Варианты исходных данных приведены в п. 5.2.

Задание 2.2. Найти приближенное значение функции по таблице значений этой функции, используя схему Эйткена. Считая, что табличные значения заданы с верными знаками, оценить неустранимую погрешность результата.

Варианты исходных данных приведены в п. 5.2.

Задание 2.3. Найти приближенное значение функции по таблице значений этой функции, используя интерполяционную формулу Ньютона. Считая, что табличные значения заданы с верными знаками, оценить неустранимую погрешность результата. Используя формулу (2.29), оценить погрешность метода.

Варианты исходных данных приведены в п. 5.2.

Задание 2.4. Найти приближенное значение функции по таблице значений этой функции, используя многочлен 3-ей степени, построенный по методу наименьших квадратов. Построить график аппроксимирующего многочлена с табличными значениями функции, отмеченными символом «*».

Варианты исходных данных приведены в п. 5.2.

Задание 2.5. Найти приближенное значение функции по таблице значений этой функции, используя интерполяционные сплайны 1-го, 2-го и 3-го порядка. Построить графики сплайнов с табличными значениями функции, отмеченными символом «*».

Варианты исходных данных приведены в п. 5.2.

Задание 2.6. Построить на интервале аналитическое выражение многочлена Лагранжа третьей степени с минимальной погрешностью. Интерполируемая функция задана на интервале . Оценить погрешность метода . Сравнить с где

Варианты исходных данных приведены в п. 5.3.

Задание 2.7. Построить таблицу конечных разностей для функции заданной в виде таблицы на равномерной сетке , . Считая, что табличные значения заданы с верными знаками, определить наивысший порядок правильных конечных разностей.

Варианты исходных данных приведены в п. 5.4.

Задание 2.8. Для функции заданной в виде таблицы на равномерной сетке , , , подобрать интерполяционные формулы и с помощью этих формул найти приближенное значение интерполируемой функции в точках и . При построении интерполяционной формулы использовать только правильные конечные разности, но не выше 4-го порядка. Считая, что табличные значения заданы с верными знаками, оценить погрешности , и . Результаты интерполирования записать с верными знаками.

Варианты исходных данных приведены в п. 5.4.

Численное дифференцирование применяется, если непосредственное дифференцирование функции, заданной аналитически, затруднительно, а также, если требуется найти производную функции, заданной в виде таблицы. Численное дифференцирование позволяет определять такие важные характеристики как скорость и ускорение изменения величин. Например, в экономике оценка первой производной может быть использована для определения темпа изменения какого-либо экономического показателя. Численное дифференцирование широко используется при решении дифференциальных уравнений разностными методами.

Основная идея, используемая при численном дифференцировании, заключается в том, что функция, заданная таблично или аналитически, заменяется аппроксимирующей функцией

. (3.1)

Здесь – аппроксимирующая функция, – остаточный член. Вычислив производную порядка

, (3.2)

пренебрегая остаточным членом, получим формулу численного дифференцирования

. (3.3)

Отметим, что пользоваться формулой (3.3) можно при малых .

Следует обратить внимание на неустойчивость в задаче вычисления производной. Действительно, при малых изменениях функции на малом интервале вблизи точки , в которой оценивается производная, можно получить другую функцию с любым заданным значением производной в этой точке. Это замечание говорит о том, что при реализации операции численного дифференцирования необходимо контролировать результат, например, осуществлять расчеты повторно другим методом.

Дата добавления: 2014-12-29