Метод квадратурных формул

Пусть известны значения функции в узловых точках , . В разделе 3.1 задача численного дифференцирования решалась посредством дифференцирования интерполяционных формул. Однако существует другой подход, который основан на использовании квадратурных формул. Квадратурная формула вычисления производной -го порядка имеет вид:

. (3.35)

Коэффициенты выбираются таким образом, чтобы формула (3.35) была точной для любой , являющейся многочленом степени не выше . Тогда говорят, что квадратурная формула (3.35) имеет порядок алгебраической точности равный .

Любой многочлен степени записывается в виде:

, (3.36)

где – произвольные вещественные числа. Потребуем, чтобы соотношение (3.35) при условии (3.36) обращалось в равенство

. (3.37)

Равенство (3.37) должно выполняться для любого многочлена степени . Для этого достаточно, чтобы коэффициенты при в левой и правой части (3.37) были одинаковы. В результате получим следующую систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов :

, . (3.38)

При число уравнений в (3.38) и число неизвестных будет совпадать, матрица системы будет матрицей Вандермонда, а значит невырожденной. Решив систему (3.38), можно по квадратурной формуле вычислить производную функции -го порядка. Для вычисления производной в другой точке, необходимо пересчитать коэффициенты из системы (3.38) и повторить расчеты по формуле (3.35).

Отметим, что метод квадратурных формул нашел применение для численного дифференцирования функций многих переменных. Численное дифференцирование функций многих переменных можно также реализовать, используя аналитические формулы многомерной аппроксимации, приведенные в п. 2.15.

Дата добавления: 2014-12-29