КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Квадратурные формулы Ньютона-Котеса
Частными случаями интерполяционного квадратурного правила являются правила Ньютона-Котеса. Эти правила с равноотстоящими узлами были предложены Ньютоном, а Котесом была составлена таблица коэффициентов для случая постоянной весовой функции при . Квадратурное правило Ньютона-Котеса записывается в виде: , (4.5) где . Коэффициенты в (4.5), учитывая выражение (4.3) для , вычисляются по формуле: . Если ввести новую переменную , положив , то , , якобиан преобразования равен , и выражение для коэффициентов примет вид . (4.6) В случае постоянной весовой функции выражение (4.6) примет вид (4.7) и формула для остатка квадратуры Ньютона-Котеса запишется следующим образом: . (4.8) Для , коэффициенты принимают конкретные значения: , , , , , , , , , , , , и т.д. Коэффициенты являются рациональными числами и обладают следующими свойствами: 1) при каждом , в чем легко убедиться, если в (4.5) положить и учесть, что в этом случае ; 2) из первого свойства следует, что при ; 3) ; 4) при и для всех среди встречаются отрицательные, причем абсолютные величины значений быстро растут с ростом . Последнее свойство коэффициентов является существенным при определении погрешности вычисления интеграла с помощью квадратурной суммы. Так, если значения подынтегральной функции известны с абсолютной погрешностью , то неустранимая погрешность вычисления интеграла с помощью квадратурной суммы (4.9) может быть оценена величиной , при этом значения при увеличении быстро растут. Например, . Поэтому при больших значениях незначительные погрешности в значениях функций могут привести к большой погрешности в квадратурной сумме (4.9). В связи с этим формулы Ньютона-Котеса используются только при малых значениях . Для уменьшения погрешности результата отрезок разбивают на отрезков. К каждому полученному отрезку применяют квадратурную формулу с малым числом узлов и результаты суммируют. При этом, так как погрешность метода для формулы Ньютона-Котеса можно представить в виде , где − медленно изменяющаяся функция на , а погрешность той же формулы, примененной к отрезку длиной , равна , то в результате суммирования погрешностей получим
. Таким образом, погрешность вычисления интеграла за счет деления интервала интегрирования на частей, уменьшилось в раз. Заметим, что если середина интервала является узлом квадратурного правила, то точность правила увеличивается на единицу. Получим конкретные формулы Ньютона-Котеса для , которые используются чаще всего. При этом, приведем и соответствующие обобщенные формулы, которые получаются путем деления отрезка на частей и суммирования значений интегралов, вычисленных на каждой из этих частей.
Дата добавления: 2014-12-29; Просмотров: 574; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |