КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Квадратурная формула Симпсона (парабол)
Квадратурная формула трапеций Для формулы трапеций Два равноотстоящих узла на образуют точки и . Формула трапеций и выражение для погрешности имеют вид
(4.17)
.
Последнее выражение для получается в предположении, что непрерывна на и произведение не меняет знак на . Геометрически формула (4.17) означает, что площадь, ограниченная кривой на , заменяется площадью трапеции с основанием и высотой . Разделив отрезок на частей, применив к каждой части формулу трапеций и просуммировав результаты, получим обобщенную формулу трапеций
. (4.18)
Погрешность обобщенной формулы трапеций имеет вид
.
В этом случае Три равноотстоящих узла на образуют точки . Квадратурная формула Симпсона имеет вид . (4.20) Геометрически формула (4.20) означает, что площадь, ограниченная кривой на , заменяется площадью, ограниченной параболой, построенной на по трем точкам . Так как средняя точка интервала является узлом квадратурного правила, то формула (4.20) является точной для многочленов третьей степени. Для нахождения погрешности квадратурной формулы Симпсона построим многочлен Эрмита третьей степени , удовлетворяющий условиям: Остаточный член многочлена Эрмита имеет вид: . Тогда остаточный член квадратурного правила Симпсона можно вычислить следующим образом: . Так как множитель не меняет знак на и, в предположении о непрерывности на , существует такая точка такая, что
Разделим отрезок на четное число частей длиной и к сдвоенному отрезку применим формулу (4.20). Тогда . Просуммировав результаты по всем сдвоенным отрезкам на , получим обобщенную формулу Симпсона
, (4.21) погрешность которой можно представить в виде
, где . Ввиду предположения о непрерывности на , существует такая точка , что . Тогда выражение для погрешности квадратурной формулы (4.21) примет вид (4.22)
4.2.4. Квадратурная формула “трех восьмых” (формула Ньютона) Квадратурные коэффициенты формулы “трех восьмых” равны . Четыре равноотстоящих узла на образуют точки . В этом случае квадратурная формула “трех восьмых” и ее погрешность имеют вид
Геометрически эта формула означает, что площадь, ограниченная кривой на , заменяется площадью, ограниченной многочленом, который построен на по четырем точкам . Разделив отрезок на число частей , кратное трем, применив к строенным отрезкам формулу “трех восьмых” и просуммировав результаты, получим обобщенную формулу “трех восьмых” . (4.23) Погрешность квадратурной формулы “трех восьмых” определяется выражением (4.24) Пример 4.1. При вычислении интеграла
по обобщенным формулам Ньютона-Котеса для различных получаются следующие результаты (таблица 4.1) Таблица 4.1.
Полученные результаты показывают, что, при вычислении интеграла с заданной точностью , для каждой квадратурной формулы необходимо задавать свое значение .
Дата добавления: 2014-12-29; Просмотров: 724; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |