Дискретна математика

Методи обчислень

1. Інтерполяційний многочлен у формі Лагранжа та Ньютона.

2. Формули чисельного інтегрування (прямокутників, трапеції, Симпсона).

3. Метод скінчених різниць розв’язування крайових задач.

Б. Студент має вміти доводити такі теореми:

1.Математичний аналіз

1. Теореми про три послідовності, про арифметичні дії зі збіжними послідовностями.

2. Теореми Ферма, Ролля, Лагранжа та Коші.

3. Властивості суми функціонального ряду: теореми про неперервність, інтегровність, диференційовність.

4. Теорема Банаха про стискаючі відображення.

5. Необхідні й достатні умови диференційовності функцій кількох змінних.

6. Формула Ньютона-Лейбніца.

7. Теорема про інтегровність неперервної функції.

8. Достатні умови збіжності ряду Фур'є в точці.

2.Теорія міри та інтеграла

1. Теорема про σ -адитивність інтеграла Лебега.

2. Теорема Лебега про мажоровану збіжність під знаком інтеграла Лебега.

3.Функціональний аналіз

1. Повнота простору лінійних неперервних функціоналів.

2. Теорема про ортогональний розклад гільбертового простору.

3. Загальний вигляд лінійного неперервного функціонала в гільбертовому просторі.

4. Теорема про спектр компактного оператора.

4. Лінійна алгебра

1. Теорема про ранг матриці.

2. Теореми Кронекера-Капеллі про сумісність і визначеність системи лінійних рівнянь.

3. Формули зміни координат вектора і матриці лінійного перетворення при зміні бази.

4. Закон інерції дійсних квадратичних форм.

5. Метод ортогоналізації Грама-Шмідта. Ортонормовані бази.

5.Алгебра та теорія чисел

1. Теорема Лагранжа про порядки групи та підгрупи.

2. Дія групи на множині і лема Коші_Фробеніуса-Бернсайда.

3. Основна теорема про гомоморфізми груп.

1. Поліноміальні коефіцієнти, поліноміальна формула.

7.Математична логіка

1. Диз’юнктивна і кон’юнктивна нормальні форми булевих функцй.

8.Аналітична геометрія

1. Оптичні властивості еліпса, гіперболи, параболи.

2. Теорема про головні напрями кривої другого порядку.

3. Теореми про інваріанти поверхні другого порядку.

9.Диференціальна геометрія та топологія

1. Теорема про кривину кривої.

2. Критерій того, що родина підмножин непорожньої множини є базою деякої топології на цій множині.

3. Критерій неперервності відображення топологічних просторів.

10.Диференціальні рівняння

1. Теорема існування фундаментальної системи розв’язків ЛОС.

2. Вронскіан і критерій фундаментальності системи розв’язків ЛОР.

3. Теорема про загальний розв’язок ЛОС.

4. Перший інтеграл нормальної системи та його аналітичний критерій.

5. Критерії стійкості та асимптотичної стійкості ЛОС зі змінною матрицею.

6. Знаковизначені функції. Теорема Ляпунова про стійкість положення рівноваги автономної системи.

11.Варіаційне числення та методи оптимізації

1. Теорема про апроксимацiю в гiльбертовому просторi.

2. Необхiднi умови локального екстремуму в гладких задачах без обмежень.

3. Необхiднi умови локального екстремуму в задачi Лагранжа.

12.Комплексний аналіз

1. Теорема про диференційованість функцій комплексної змінної. Умови Коші-Рімана.

2. Теорема Ліувілля для аналітичних функцій..

3. Теорема про аналітичність суми степеневого ряду в крузі збіжності.

4. Теорема про розвинення функцій в ряд Лорана.

5. Теорема Руше.

13.Рівняння математичної фізики

1. Формула Д’Аламбера розв’язання задачі Коші для рівняння коливань струни..

2. Принцип максимуму для розв’язку однорідного рівняння теплопровідності.

3. Єдиність розв’язку задачі Коші для рівняння теплопровідності.

4. Фундаментальний розв’язок рівняння Лапласа (випадки n=2, n=3) та його фізичний зміст.

5. Теорема Ліувілля для гармонічної функції.

14.Теорія ймовірностей

1. Теорема про основні властивості функції розподілу.

2. Теорема про функцію розподілу суми незалежних величин.

3. Гранична теорема Пуассона.

4. Теорема про математичне сподівання добутку незалежних величин.

5. Теорема про лінійні перетворення нормальних векторів.

6. Теорема Чебишева про закон великих чисел.

7. Класична центральна гранична теорема.

Дата добавления: 2015-01-03