Завдання 1

2.1.1. а) Надано діагоналі паралелограма ABCD і . Виразити через і вектори , , і .

б) Знайти проекцію вектора на напрямок вектора , якщо задано точки A (–2,1,3), B (2,–1,7), C (11,2,–5) і D (0,5,3).

в) Знайти вектор , якщо відомо, що він є перпендикулярним до векторів і та задовольняє умові , де .

г) Надана піраміда з вершинами О (0,0,0), А₁ (3,0,0), А₂ (2,3,0) і А₃ (1,2,3). Обчислити площу основи А₁А₂А₃ і довжину висоти піраміди, що опущена на неї.

д) Знайти довжину вектора , якщо , , .

2.1.2. а) У паралелограмі ABCD і (M і L – середини сторін AB і AD). Виразити вектори , , , , та через задані вектори.

б) У площині XOY знайти вектор , який є перпендикулярним до вектора і має з ним однакову довжину.

в) Надано вершини трикутника А (1,–1,2), В (5,–6,2), С (1,3,1). Обчислити довжину його висоти, опущеної з вершини В на АС.

г) Довести, що чотири точки А (1,2,1), В (0,1,3), С (–1,2,1)і D (2,1,3) лежать в одній площині.

д) Знайти площу трикутника, побудованого на векторах і , якщо , .

2.1.3. а) У правильному шестикутнику відомі сторони і . Знайти вектори, що збігаються з іншими сторонами шестикутника.

б) У площині XOZ знайти вектор , який є перпендикулярним до і має з ним однакову довжину.

в) Задано точки A (1,2,0), B (3,0,3), C (5,3,6). Обчислити площу трикутника ABC.

г) Обчислити об‘єм тетраедра ABCD, якщо задано його вершини А (–1,–1,2), В (–1,2,–3), С (2,2,–1) і D (0,1,5).

д) Знайти проекцію вектора на напрямок вектора , якщо , , , .

2.1.4. а) , , – медіани трикутника ABC. Довести, що .

б) Надано вершини чотирикутника A (1,–2,2), B (1,4,0), C (–4,1,1) і D (– 5,–5,3) Довести, що його діагоналі є взаємно перпендикулярними.

в) Знайти вектор , якщо відомо, що він перпендикулярний до векторів і і задовольняє умові , де .

г) Знайти довжину висоти тетраедра ABCD, опущену з точки D, якщо А (2,1,5), В (4,0,8), С (6,–2,6) і D (5,0,5).

д) Знайти кут поміж діагоналями паралелограма, побудованого на векторах , , якщо , .

2.1.5. а) У паралелограмі ABCD і . Виразити через і вектори , , і , де М – точка перетину діагоналей паралелограма.

б) Визначити, при якому значенні a вектори і будуть взаємно перпендикулярними.

в) Вектор , перпендикулярний векторам і , утворює з віссю OY тупий кут. Знаючи, що , знайти його координати.

г) Обчислити об‘єм тетраедра, вершини якого знаходяться в точках О (1,1,2), А (2,3,–1), В (2,–2,4) и С (–1,1,3).

д) Надано компланарні вектори , і , для яких , , , , . Знайти .

2.1.6. а) ABCDEF – правильний шестикутник, у якого , . Виразити через і вектори , , , , , і .

б) Знайти проекцію вектора на вісь, яка паралельна вектору .

в) Знайти довжини діагоналей і площу паралелограма, побудованого на векторах и .

г) Встановити, чи компланарні вектори , , .

д) Знаючи, що , і , визначити, при якому значенні a вектори і будуть взаємно перпендикулярними.

2.1.7. а) Точки E і F – середини сторін AD і BC чотирикутника ABCD. Довести, що .

б) Знайти одиничний вектор , який є одночасно перпендикулярним до вектора і до осі OX.

в) Надано вектори і . Знайти векторний добуток .

г) У тетраедрі з вершинами в точках А (1,1,1), В (2,0,2), С (2,2,2) і D (3,4,–3) обчислити висоту, що опущена з вершини D на грань АВС.

д) Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах і , якщо , , .

2.1.8. а) У паралелепіпеді ABCDA'B'C'D' , , . Побудувати вектори 1) , 2) , 3) .

б) Знайти кут між векторами и .

в) Знайти одиничний вектор , що є перпендикулярним до векторів і і складає гострий кут з віссю OX.

г) Надано вершини тетраедра S (–5,–4,8), А (2,3,1), B (4,1,–2) і C (6,3,7). Знайти довжину висоти, що опущена з вершини S на грань ABC.

д) Довести, що, якщо вектори , і не колінеарні і , то .

2.1.9. а) По сторонах OA і ОВ прямокутника ОACВ відкладені одиничні вектори і . Виразити через них , , , , і , якщо

б) Надано вектори і . Знайти вектор за умови, що він є перпендикулярним до осі OZ і задовольняє умовам , .

в) Надано вектори , , . Знайти векторний добуток .

г) Знайти об‘єм паралелепіпеда, який побудовано на векторах , , .

д) Вектори і утворюють кут . Знаючи, що , , обчислити кут між векторами і .

2.1.10. а) На трьох некомпланарних векторах , і побудовано паралелепіпед. Позначити ті його вектори – діагоналі, що дорівнюють відповідно , , , .

б) Знаючи вектори, що збігаються з двома сторонами трикутника і , обчислити кути цього трикутника.

в) Надано трикутник з вершинами А (2,–1,2), В (1,2,–1), С (3,2,1). Знайти його площу.

г) Довести, що вектори , і компланарні.

д) Знайти орт вектора , якщо , .

2.1.11. а) Надано вектори і . Вектор – медіана трикутника . Виразити: 1) вектор через і ; 2) вектор через і .

б) Перевірити, чи є колінеарними вектори і , якщо і .

в) Обчислити площу трикутника з вершинами , і .

г) Показати, що вектори , і є компланарними.

д) Знайти кут між векторами і , якщо , а кут .

2.1.12. а) Надано вектори , та кут між ними . Побудувати вектор і знайти його довжину, якщо .

б) Надано вектори , і . Знайти .

в) Надано вектори і . Знайти векторний добуток .

г) Обчислити об‘єм тетраедра , якщо , , .

д) Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах і , якщо і – одиничні вектори, а .

2.1.13. а) У паралелограмі надано вектори та . Виразити через і вектори та , де – точка перетину діагоналей.

б) Надано точки та . Довести, що – рівнобедренний. Знайти кут при його основі.

в) Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах і .

г) Обчислити об‘єм тетраедра з вершинами в точках и .

д) Надано вектор , де , , , , , . Знайти .

2.1.14. а) Точка є центр ваги трикутника (точка перетину медіан). Довести, що .

б) Надано вектори , і . Знайти .

в) Обчислити площу трикутника з вершинами і .

г) Показати, що вектори , і є компланарними.

д) Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах і , якщо , .

2.1.15. а) У паралелепіпеді ABCDA'B'C'D' надано вектори , і , що збігаються з його ребрами. Знайти вектори – діагоналі .

б) Довести, що точки є вершинами трапеції. Знайти довжини її паралельних сторін.

в) Знайти площу трикутника, побудованого на векторах і .

г) Показати, що точки лежать в одній площині. Знайти .

д) У трикутнику , . Знайти вектор, спрямований по бісектрисі кута ВАС, якщо .

2.1.16. а) З точки О виходять два вектори і . Виразити через них якийсь вектор, що спрямований по бісектрисі кута .

б) Знайти орт вектора та його напрямні косинуси.

в) Надано трикутник з вершинами . Знайти довжину його висоти .

г) Перевірити, чи є компланарними вектори , , .

д) Знайти довжину вектора ,якщо .

2.1.17. а) У трапеції ABCD відношення основи до основи , дорівнює . Припускаючи, що , , виразити через них вектори .

б) Знайти орт і напрямні косинуси вектора , де .

в) Знайти кут між діагоналями паралелограма, побудованого на векторах і .

г) Тетраедр заданий своїми вершинами . Знайти висоту, опущену з вершини на грань .

д) Знайти кут між діагоналями паралелограма, побудованого на векторах і , якщо , .

2.1.18. а) У трикутнику ABC проведенімедіани , і . Знайти суму векторів .

б) Надано вектори і . Знайти вектор, що є колінеарним бісектрисі кута між і .

в) Обчислити проекцію вектора на вісь вектора .

г) Обчислити об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах ; і .

д) Визначити кут між векторами і , якщо вектор перпендикулярний до вектора , а вектор є перпендикулярним до вектора .

2.1.19. а) Надано правильний шестикутник ABCDEF. Виразити вектори через вектори і .

б) На матеріальну точку діють три сили та . Обчислити роботу рівнодіючої цих сил при переміщенні точки з положення A (2,–1,0) у положення B (4,1,–1).

в) Знайти довжину вектора .

г) Обчислити об‘єм паралелепіпеда, побудованого на векторах і та дослідити, ліву чи праву трійку утворюють вектори .

д) Знайти кут між діагоналями паралелограма, побудованого на векторах и , якщо .

2.1.20. а) У трапеції ABCD відношення основи до основи дорівнює . Вважаючи і , виразити через них вектори і .

б) Надано вектори . Знайти Пр. .

в) Знаючи вектори, що збігаються з двома сторонами трикутника і , знайти вектор і площу трикутника ABC.

г) Перевірити, чи будуть компланарними дані три вектори: і .

д) Знайти довжини діагоналей паралелограма, побудованого на векторах і , якщо .

Завдання 2. Перевірити чи утворюють вектори базис, якщо так, то розкласти вектор по цьому базису.

2.2.1.
2.2.2.
2.2.3.
2.2.4.
2.2.5.
2.2.6.
2.2.7.
2.2.8.
2.2.9.
2.2.10.
2.2.11.
2.2.12.
2.2.13.
2.2.14.
2.2.15.	.
2.2.16
2.2.17.
2.2.18.
2.2.19.
2.2.20

Дата добавления: 2015-01-03