Індивідуальні завдання до гл. 3

Завдання 1. Дано координати вершин трикутника АВС. Методами аналітичної геометрії:

1) скласти рівняння сторони AB;

2) скласти рівняння висоти, проведеної з вершини C;

3) обчислити довжину висоти, проведеної з вершини B;

4) скласти рівняння прямої, що проходить через центр ваги трикутника паралельно стороні AC;

5) знайти площу трикутника;

6) знайти внутрішній кут трикутника при вершині A.

Номер варіан-та	A	B	C	Номер варіан-та	A	B	C
3.1.1	(–6;–3)	(–4;3)	(9;2)	3.1.16	(2;–1)	(8;7)	(–10;4)
3.1.2	(–3;1)	(–1;7)	(12;6)	3.1.17	(5;–3)	(1;0)	(7;2)
3.1.3	(–1;3)	(1;9)	(4;7)	3.1.18	(4;–6)	(2;2)	(–2;–1)
3.1.4	(0;0)	(2;6)	(7;2)	3.1.19	(3;4)	(–1;7)	(–4;0)
3.1.5	(–2;–6)	(0;0)	(3;–2)	3.1.20	(1;–2)	(7;6)	(0;2)
3.1.6	(–2;–5)	(6;2)	(0;0)
3.1.7	(–2;0)	(–4;–7)	(5;5)
3.1.8	(1;2)	(3;8)	(–4;–1)
3.1.9	(4;4)	(1;–3)	(9;0)
3.1.10	(5;6)	(7;2)	(–6;0)
3.1.11	(–6;–4)	(–1;2)	(6;1)
3.1.12	(2;0)	(7;2)	(0;5)
3.1.13	(–2;–6)	(–6;–3)	(10;–1)
3.1.14	(8;2)	(–2;1)	(–4;7)
3.1.15	(2;–4)	(–2;–1)	(4;1)

Завдання 2. Звести рівняння лінії до канонічного вигляду, побудувати цю лінію та знайти в залежності від отриманого результату:

а) координати центру кола і його радіус; б) координати фокусів, довжини осей і ексцентриситет еліпса; в) координати фокусів, довжини осей, ексцентриситет гіперболи та записати рівняння її асимптот; г) координати вершини і фокуса параболи, параметр, а також записати рівняння її директриси.

Номер варі-анта	Рівняння	Номер варі-анта	Рівняння
3.2.1		3.2.16
3.2.2		3.2.17
3.2.3		3.2.18
3.2.4		3.2.19
3.2.5		3.2.20
3.2.6
3.2.7
3.2.8
3.2.9
3.2.10
3.2.11
3.2.12
3.2.13
3.2.14
3.2.15

Завдання 4. Дано координати вершин піраміди . Знайти:

1) довжину ребра ; 2) кут між ребрами і ; 3) проекцію вектора на вектор ; 4) площу грані ; 5) об’єм піраміди; 6) рівняння прямої ; 7) рівняння площини ; 8) рівняння висоти, опущеної з вершини на грань ; 9) кут між ребром і гранню . Зробити рисунок. Перевірити розв’язок в системі Maple.

Номер варіанта
3.4.1	(2;0;0)	(–2;0;–1)	(1;4;2)	(3;0;6)
3.4.2	(–2;0;2)	(0;0;4)	(3;2;5)	(–1;3;2)
3.4.3	(1;2;3)	(2;0;0)	(3;2;5)	(4;0;0)
3.4.4	(3;0;6)	(1;–3;2)	(3;2;5)	(2;2;5)
3.4.5	(–2;0;–1)	(0;0;4)	(1;3;2)	(3;2;7)
3.4.6	(1;–2;1)	(0;0;4)	(1;4;2)	(2;0;0)
3.4.7	(–2;1;0)	(3;2;7)	(2;2;5)	(6;1;5)
3.4.8	(–1;3;0)	(2;0;0)	(–4;1;–2)	(–6;0;5)
3.4.9	(1;–1;6)	(–5;–1;0)	(4;0;0)	(2;2;5)
3.4.10	(3;1;4)	(–1;6;1)	(–1;1;6)	(0;4;–1)
3.4.11	(3;3;4)	(–1;6;1)	(–1;1;6)	(0;4;–1)
3.4.12	(3;3;9)	(6;9;1)	(1;7;3)	(8;5;8)
3.4.13	(3;5;4)	(5;8;3)	(1;9;9)	(6;4;8)
3.4.14	(2;4;3)	(7;6;3)	(4;9;3)	(3;6;7)
3.4.15	(9;5;5)	(–3;7;1)	(5;7;8)	(6;9;8)
3.4.16	(0;7;1)	(4;1;5)	(4;6;3)	(3;9;8)
3.4.17	(5;5;4)	(3;8;4)	(3;5;10)	(5;8;2)
3.4.18	(6;1;1)	(4;6;6)	(4;2;0)	(1;2;6)
3.4.19	(7;5;3)	(9;4;4)	(4;5;7)	(7;9;6)
3.4.20	(6;6;2)	(5;4;7)	(2;4;7)	(7;3;0)

Завдання 5. Розв’язати задачі.

3.5.1. а) Скласти рівняння площини, що проходить через точки , паралельно до вектора .

б) Знайти відстань від точки до прямої .

в) Довести перпендикулярність прямих і .

3.5.2. а) Скласти канонічні рівняння прямої, що проходить через точку паралельно до прямої .

б) Знайти точку перетину прямої і площини

в) Довести, що прямі лежать в одній площині, і скласти рівняння цієї площини.

3.5.3. а) Скласти рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно до прямої .

б) Дано вершини трикутника . Скласти параметричні рівняння його медіани, проведеної з вершини С.

в) Знайти точку , симетричну точці відносно площини, що проходить через точки .

3.5.4. а) Перевірити, що прямі , перетинаються, і написати рівняння площини, яка проходить через них.

б) Обчислити відстань від точки до прямої .

в) Знайти точку , симетричну точці відносно прямої, що проходить через точки і .

3.5.5. а) Через лінію перетину площин , провести площину, що проходить через точку .

б) Написати рівняння перпендикуляра, опущеного з точки на пряму .

в) Обчислити відстань від точки до площини, що проходить через точки .

3.5.6. а) Визначити кут між прямими: ,

.

б) Через точку провести площину, яка паралельна площині .

в) Дано площину і поза неї точку . Знайти точку , симетричну точці відносно даної площини.

3.5.7. а) Обчислити напрямні косинуси прямої .

б) Через пряму провести площину, паралельну прямій .

в) Знайти точку , симетричну точці відносно прямої

.

3.5.8. а) Довести перпендикулярність прямих:

, .

б) Написати рівняння площини, що проходить через точку і пряму:

.

в) Скласти рівняння перпендикуляра, що опущено з точки на площину і знайти точку, симетричну точці відносно площини.

3.5.9. а) Привести до канонічного вигляду рівняння прямої .

б) Скласти рівняння площини, що проходить через пряму та перпендикулярна до площини .

в) Знайти точку перетину прямої і площини .

3.5.10. а) Знайти проекцію точки на площину, що проходить через паралельні прямі: ; .

б) Визначити напрямні косинуси прямої .

в) Довести перпендикулярність прямих:

; .

3.5.11. а) Скласти рівняння площини, яка проходить через початок координат, точку і перпендикулярна до площини .

б) Знайти точку симетричну точці відносно площини .

в) Довести, що прямі паралельні й обчислити відстань між ними: .

3.5.12. а) Дано вершини тетраедра , , . Написати рівняння площини, що проходить через ребро і середину ребра .

б) Знайти точку перетину прямої і площини: .

в) Довести перпендикулярність прямих:

3.5.13. а) Скласти рівняння площини, що проходить через точки , паралельно вектору .

б) Знайти відстань від точки до прямої .

в) При якому значенні «с» пряма паралельна площині ?

3.5.14. а) Скласти рівняння площини, що проходить через точку паралельно площині .

б) Обчислити відстань між прямими ; .

в) Скласти канонічні рівняння прямої, що проходить через т. паралельно прямій .

3.5.15. а) Скласти рівняння площини, яка проходить через точку паралельно двом векторам і .

б) Знайти проекцію точки на площину .

в) Визначити косинус кута між прямими і

3.5.16. а) Скласти рівняння площини, що проходить через дві точки перпендикулярно до площини .

б) Знайти рівняння прямої, що проходить через точку паралельно прямій .

в) Обчислити відстань між двома прямими: , , і скласти рівняння площини, що проходить через ці прямі.

3.5.17. а) Скласти рівняння площини, що проходить через початок координат та перпендикулярна двом площинам .

б) Перевірити, чи будуть задані прямі паралельними: .

в) Знайти проекцію точки на площину .

3.5.18. а) Скласти рівняння площини, яка проходить через лінію перетину площин і та точку .

б) Довести, що прямі перетинаються, і написати рівняння площини, яка через них проходить.

в) При якому значенні “ m ” пряма паралельна площині .

3.5.19. а) Скласти рівняння площини, яка проходить через точку

та є перпендикулярною до площин: , .

б) Довести, що прямі і лежать в одній площині, і скласти рівняння цієї площини.

в) Довести паралельність прямих: .

3.5.20. а) Скласти рівняння площини, що проходить через пряму паралельно прямій .

б) Написати рівняння перпендикуляра, опущеного з точки на пряму .

в) Дано вершини тетраедра , , , . Скласти рівняння площини, що проходить через ребро AB паралельно ребру CD.

Дата добавления: 2015-01-03