Интеграл Дюамеля. 2 страница

Задание 4. Операционным методом решить дифференциальные уравнения, удовлетворяющие заданным начальным условиям:

4.1		4.2
4.3		4.4
4.5		4.6
4.7		4.8
4.9		4.10
4.11		4.12
4.13		4.14
4.15		4.16
4.17		4.18
4.19		4.20
4.21		4.22
4.23		4.24
4.25		4.26
4.27		4.28
4.29		4.30
4.31		4.32
4.33		4.34
4.35		4.36
4.37		4.38
4.39		4.40
4.41		4.42
4.43		4.44
4.45		4.46
4.47		4.48
4.49		4.50

Задание 5. Решить систему дифференциальных уравнений:

5.1. 5.2.

5.3. 5.4.

5.5. 5.6.

5.7. 5.8.

5.9. 5.10.

5.11. 5.12.

5.13. 5.14.

5.15. 5.16.

5.17. 5.18.

5.19. 5.20.

5.21. 5.22.

5.23. 5.24.

5.25. 5.26.

5.27. 5.28.

5.29. 5.30.

5.31. 5.32.

5.33. 5.34.

5.35. 5.36.

5.37. 5.38.

5.39. 5.40.

5.41. 5.42.

5.43. 5.44.

5.45. 5.46.

5.47. 5.48.

5.49. 5.50.

ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1: Пользуясь определением, найти изображение функции е^2t.

Решение: В силу формулы (2) имеем

Пример 2: Найти изображение функции е^2tsin 7 t.

Решение: Применяя формулу 9 из таблицы изображений при a =2, b =7, будем иметь

Пример 3: Найти изображение функции

Решение: Воспользуемся свойством интегрирования оригинала и результатом решения предыдущего примера, будем иметь

Пример 4: Найти изображение функции

Решение: Т. к. то в силу теоремы о свертке (см. (14)) будем иметь

Пример 5: Найти изображение функции

е^2tsin 7(t- 3)× h (t- 3).

Решение: Преобразуем выражение так, чтобы можно было воспользоваться теоремой запаздывания

е^2t × sin 7(t- 3)× h (t- 3)= е⁶ × е^2(t-3) × sin 7(t- 3)× h (t- 3)¸

Пример 6: Найти изображение функции

(t² +1) е^-t.

Решение: Используя свойство линейности и формулы 2 и 8 в таблице изображений, получим

Пример 7: Найти оригинал функции

Решение: Представим данную дробно-рациональную функцию в виде суммы простейших дробей:

Здесь мы воспользовались формулами 2 и 3 из таблицы оригиналов.

Операционный метод особенно просто применяется к решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффицентами и систем таких уравнений. Рассмотрим это на конкретном примере.

Пример 8: Решить дифференциальное уравнение х²+х¢=е ^{2 t}.

Решение: Пусть x (t)¸ X (p), тогда x¢ (t)¸ рX (p)-1, x¢¢ (t)¸ р ² X (p)- р- 2, x¢¢¢ (t)¸ р ³ X (p)- р ² - 2 р- 0 согласно свойству дифференцирования изображения, кроме того, Тогда данное уравнение в изображениях примет вид:

Разложив функцию Х (р) на простейшие дроби с помощью неопределенных коэффициентов, получим

Тогда решение х (t)=0,5+0,1 e ^{2 t}+ 0,4cos t +1,8sin t.

Пример 9: Решить систему

при начальных условиях х (0)= х¢ (0)=1, у (0)= у¢ (0)=0.

Решение: Пусть x (t)¸ X (p), у (t)¸ У (p), тогда x¢ (t)¸ рX (p)-1, x¢¢ (t)¸ р ² X (p)- р- 1, у¢ (t)¸ рУ (p), у¢¢ (t)¸ р ² У (p), согласно свойству дифференцирования изображения. Перейдем к операторной системе

Для упрощения системы найдем сумму и разность ее уравнений:

.

Отсюда

.

Переходя к оригиналам, найдем решение

.

Дата добавления: 2014-12-24