Приклад 1.14

Приклад 1.13.

Приклад 1.11.

Інтегрування частинами.

Теорема. Нехай на проміжку Х визначені та диференційовані функції та , причому має первісну на цьому проміжку. Тоді має місце рівність.

.

1. Коли множиться на одну з функцій: , , , . Причому , dv – це функція. Щоб знайти dи, треба знайти похідну і помножити на dх. Щоб знайти v, треба знайти первісну (С= 0).

.

2. Коли присутні логарифми. Причому – це логарифми, dv – решта виразу.

Приклад 1.12. .

3. Коли присутні арки. Причому – це арк, dv – решта виразу.

.

4. Мішані.

.

.

Тема 2. Інтегрування раціональних виразів.

1. Поняття раціональних функцій.

До раціональних функцій відносяться многочлени та дробово-раціональні функції.

Означення 2.1. Многочленом степеня п називається вираз вигляду (), де х – змінна, – сталі числа.

Приклад 2.1. , .

Означення 2.2. Дробово-раціональною функцією називається відношення двох многочленів. (, ).

Приклад 2.2. .

Означення 2.3. Дріб називається правильним, якщо степінь чисельника менший за степінь знаменника (); та неправильним, якщо степінь чисельника більший або рівний за степінь знаменника ().

У будь-якому неправильному дробі можна виділити цілу частину (многочлен) і тоді неправильний раціональний дріб можна представити у вигляді суми цілої частини і правильного раціонального дробу.

Приклад 2.3. .

Приклад 2.4. .

Приклад 2.5. .

2. Інтегрування елементарних дробів.

1. , де А, а – сталі числа, х – змінна.

2. , де .

3. , де .

3. Інтегрування раціональних виразів.

Довільний дробово-раціональний дріб можна розкласти на елементарні дроби.

Приклад 2.6. Обчислити інтеграл .

.

Приклад 2.7. Обчислити інтеграл .

.

Приклад 2.8. Обчислити інтеграл .

.

4. Інтегрування тригонометричних виразів.

Нехай є вираз, що залежить від синуса та косинуса .

1. Якщо , то .

Приклад 2.15. .

2. Якщо , то .

Приклад 2.16. .

3. Якщо , то .

4. Якщо жодна рівність не виконується, то , ; .

5. Інтегрування ірраціональних виразів.

1. , заміна .

2. , заміна , де р – НСК.

3. – підстановки Ейлера.

Якщо а >0, то . Якщо с >0, то . Якщо α – корінь, то .

4. – підстановки Чебишова.

Якщо р – ціле число, , де k – НСК знаменників т і п. Якщо р – не ціле число, – ціле число, , де k – знаменник числа р. Якщо р, – не ціле число, – ціле число, , де k – знаменник числа р. Якщо жоден випадок не підходить, то інтеграл не береться.

Тема 3. Визначений інтеграл.

1. Задачі, що приводять до поняття визначеного інтегралу.

Дата добавления: 2014-12-24