КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Обчислення площ
Інтегрування частинами. Теорема. Нехай на сегменті визначені та диференційовані функції та , причому має первісну на цьому проміжку. Тоді має місце рівність. .
Тема 4. Застосування інтегралів.
Геометричний зміст визначного інтеграла. Якщо – невід’ємна функція на відрізку , то – площа криволінійної трапеції під кривою на відрізку , тобто . Розглянути випадки: 1. , . 2. – довільна (+,–,+), . 3. , . 4. , . 5. , , . 6. – довільні, . Теорема 1. Нехай функції та неперервні на сегменті , . Тоді площа криволінійної трапеції, що обмежена кривими та на відрізку , дорівнює . Теорема 2. Нехай функції та неперервні похідну на сегменті , . Тоді площа криволінійної трапеції, що обмежена кривими та на відрізку , дорівнює . Приклад 9.1. Обчислити площу фігури, обмеженою лініями: та . Накреслимо дану фігуру. Знайдемо точки перетину графіків функцій з системи: . . Отже, (кв. од.).
2. Обчислення об’ємів. Нехай задана криволінійна трапеція, яка обмежена – невід’ємною функцією на відрізку . Нехай ця трапеція обертається навколо осі Ох. Розіб’ємо відрізок ab на п частин довільним чином: . На кожному проміжку візьмемо довільну фіксовану точку (зета). Обчислимо значення функції в цих точках: . Припустимо, що на кожному проміжку часу крива паралельна вісі Ох. Утворилися циліндри. Об’єм циліндра висотою і радіусом дорівнюватиме . Весь об’єм тіла – це наближене значення об’єму, що залежить від розбиття та від вибору точок. Результат буде точніше, якщо проміжки зменшувати, тому . А це означення інтеграла для функції , отже, . Розглянути випадки: 1. , . 2. – довільна (+,–,+), . 3. , . 4. , . Теорема 3. Нехай функції та неперервні на сегменті , – одного знаку. Тоді об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох криволінійної трапеції, що обмежена кривими та на відрізку , дорівнює
. Теорема 4. Нехай функції та неперервні на сегменті , – одного знаку. Тоді об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Оу криволінійної трапеції, що обмежена кривими та на відрізку , дорівнює . Приклад 9.2. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох фігури, обмеженою лініями: та . Знайдемо точки перетину графіків функцій з системи: . . Отже, (куб. од.).
Дата добавления: 2014-12-24; Просмотров: 456; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |