Средние велечины 11-16

Средняя величина – это обобщающая мера варьирующего признака, характеризующая его уровень в расчете на единицу совокупности.

Условиями применения средних величин являются наличие качественно однородной совокупности и достаточно большой ее объем.

Определить среднюю во многих случаях можно через исходное соотношение средней или её логическую формулу:

Числитель исходного соотношения средней представляет собой определяющий показатель.

Различают две основные формы средних:

1. Степенные средние.

2. Структурные.

Общая формула степенной средней простой записывается следующим образом:

(5.1)

Общая формула степенной средней взвешенной записывается следующим образом:

(5.2)

Изменение показателя степени k приводит в каждом отдельном случае к определенному виду средней:

Пока-затель степени	Вид средней	Формулы средней
Простая	Взвешенная
k = -1	Средняя гармони-ческая
k = 0	Средняя геомет-рическая
k = 1	Средняя арифме-тическая
k = 2	Средняя квадра-тическая

Степенные средние, исчисленные для одной и той же совокупности, имеют различные количественные значения. Это отражено в правиле мажорантности средних:
чем больше показатель степени, тем больше величина соответствующей средней:

(5.3)

Для расчета значения медианы в интервальном вариационном ряду вначале находят интервал, содержащий медиану. Медианному интервалу соответствует первая из накопленных частот или частостей, превышающая половину всего объема совокупности. Внутри медианного интервала расчет значения медианы производится по формуле:

,

(5.5)

где – нижняя граница медианного интервала;

k – величина медианного интервала;

– половина суммы всех частот (или частостей);

– накопленная частота или частость интервала, предшествующего медианному;

– частота медианного интервала.

Мода – это значение признака, наиболее часто встречающееся в совокупности. В интервальном вариационном ряду мода рассчитывается по следующей формуле:

,

(5.6)

где – нижняя граница модального интервала;

k – величина модального интервала;

– частота модального интервала;

– частота интервала, предшествующего модальному;

– частота интервала, следующего за модальным.

Медиана – это значение признака в центре набора данных. Одна половина значений признака лежит левее этой точки, другая – правее. Точное местонахождение любой точки не существенно при определении медианы; важно только ее положение относительно центрального значения, т.е. медиана устойчива по отношению к крайним значениям ряда. Средняя арифметическая, напротив, чувствительна к положению крайних значений ряда. Тем не менее средняя арифметическая имеет существенные преимущества перед другими мерами центральной тенденции. Средняя арифметическая основывается на информации, содержащей все значения ряда, в то время как медиана базируется только на значении, лежащем «в середине ряда». Если же необходимо предотвратить влияние нескольких наблюдений, лежащих далеко от центра ряда, то надо использовать и медиану. Например, если изучается распределение доходов и имеет место высокая степень неравенства, т.е. присутствует некоторое число единиц наблюдения как с очень высокими, так и с очень низкими доходами, то логичнее рассчитывать не средний доход, а медианный. В такой ситуации он более адекватно отразит типичное значение дохода.

Мода не так популярна в статистическом анализе, как средняя арифметическая и медиана. В одном ряду может быть несколько мод. Моде отдается предпочтение при изучении цен на рынке, спроса населения на отдельные продукты питания, одежду и обувь определенных размеров. Если средняя арифметическая близка к моде и медиане, то она типична. Вычисление моды особенно существенно в несимметричных рядах, когда она сильно отличается от медианы и средней арифметической.

Дата добавления: 2014-12-24