Факторный анализ. Дисперсионный анализ

Дисперсионный анализ

Дисперсионным анализом называют совокупность статистических методов, предназначенных для обработки данных экспериментов, целью которых являлось не установление каких-то свойств и параметров, а сравнение эффектов различных воздействий на каком-либо экспериментальном материале. Методы дисперсионного анализа используются для проверки гипотез о наличии связи между результативным признаком и исследуемыми факторами, а также для установления силы влияния факторов и их взаимодействий.

Однофакторный дисперсионный анализ используется в тех случаях, когда есть в распоряжении три или более независимые выборки, полученные из одной генеральной совокупности путем изменения какого-либо независимого фактора, для которого по каким-либо причинам нет количественных измерений.

Проводится в среде MS Excel с помощью инструмента «Однофакторный дисперсионный анализ» Пакета анализа.

Результаты выполнения анализа:

Однофакторный дисперсионный анализ
ИТОГИ
Группы	Счет	Сумма	Среднее	Дисперсия
x1		3200,2	160,01	3051,297
x2		3178,8	158,94	3325,768
x3		609622,5	30481,12	1,1E+08
x4		40,6	2,03	14,87379
x5		103692,6	5184,63	9979,812
x6			59955,6
x7			49158,25	760820,5
x8			18569,75
x9		725,6142	36,28071	92,12897
x10		107,462	5,3731	2,009487
x11			97,1	12,62105
x12		21772,73	1088,637	29943,88
x13		1265,171	63,25855	823,3025
x14		1096,61	54,8305	778,4797
x15		258,9353	12,94677	26,41525
x16		46,2116	2,31058	0,490652
x17		52055,2	2602,76	5833,25
x18		5316,821	265,841	5571,812
x19		197,8261	9,891305	11,80556
Дисперсионный анализ
Источник вариации	SS	df	MS	F	P-Значение	F критическое
Между группами	1,17E+11		6,48E+09	822,8476	2,5054E-280	1,632496479
Внутри групп	2,84E+09
Итого	1,2E+11

Внутригрупповая изменчивость (SS) обычно называется остаточной компонентой или дисперсией ошибки. Это значит, что обычно при проведении эксперимента она может быть предсказана или объяснена. С другой стороны, SS между группами можно объяснить различиями между средними значениями в группах. Иными словами, принадлежность к некоторой группе объясняет межгрупповую изменчивость, т.к. нам известно, что эти группы обладают разными средними значениями.

Проверка значимости в дисперсионном анализе основана на сравнении компоненты дисперсии, обусловленной межгрупповым разбросом и компоненты дисперсии, обусловленной внутригрупповым разбросом. Если верна нулевая гипотеза (равенство средних в двух выборках), то можно ожидать сравнительно небольшое различие выборочных средних из-за чисто случайной изменчивости. Поэтому, при нулевой гипотезе, внутригрупповая дисперсия будет практически совпадать с общей дисперсией, подсчитанной без учета групповой принадлежности. Полученные внутригрупповые дисперсии можно сравнить с помощью F-критерия, проверяющего, действительно ли отношение дисперсией значимо больше 1. В нашем случае, критерий показывает, что различие между средними статистически значимо.

Методами факторного анализа решаются три основных вида задач:

· отыскание скрытых, но предполагаемых закономерностей, которые определяются воздействием внутренних или внешних причин (факторов) на изучаемый процесс;

· выявление и изучение статистической связи признаков с факторами или главными компонентами;

· сжатие информации путем описания процесса при помощи общих факторов или главных компонент, число которых меньше количества первоначально взятых признаков (параметров), однако с той или иной степенью точности обеспечивающих воспроизводимость корреляционной матрицы.

Следует пояснить, что в факторном анализе понимается под сжатием информации. Дело в том, что корреляционная матрица получается путем обработки исходного массива данных. Корреляционная матрица образована из попарных коэффициентов корреляции компонент случайного вектора. Предполагается, что та же самая корреляционная матрица может быть получена с использованием тех же объектов, но описанных меньшим числом параметров. Таким образом, якобы происходит уменьшение размерности задачи, хотя на самом деле это не так. Это не сжатие информации в общепринятом смысле - восстановить исходные данные по корреляционной матрице нельзя.

Проведем факторный анализ для показателей, участвовавших в регрессионном анализе, с помощью программы AtteStat, которая является приложением для Excel. Были получены следующие результаты:

Корреляционная матрица
1,000	0,896	0,928	0,898	0,966	0,986	0,993	0,936	0,886	0,997
0,896	1,000	0,828	0,925	0,916	0,902	0,898	0,771	0,871	0,899
0,928	0,828	1,000	0,877	0,884	0,917	0,919	0,859	0,948	0,918
0,898	0,925	0,877	1,000	0,950	0,919	0,864	0,714	0,945	0,887
0,966	0,916	0,884	0,950	1,000	0,988	0,940	0,831	0,887	0,954
0,986	0,902	0,917	0,919	0,988	1,000	0,972	0,897	0,886	0,977
0,993	0,898	0,919	0,864	0,940	0,972	1,000	0,960	0,862	0,996
0,936	0,771	0,859	0,714	0,831	0,897	0,960	1,000	0,738	0,945
0,886	0,871	0,948	0,945	0,887	0,886	0,862	0,738	1,000	0,876
0,997	0,899	0,918	0,887	0,954	0,977	0,996	0,945	0,876	1,000
Метод главных факторов
Число положительных собственных значений
Число факторов
Матрица факторного отображения
0,991	-0,108	-0,021	-0,044	-0,026	-0,026	-0,030	0,023	-0,020	-0,006
0,930	0,177	-0,220	0,228	0,050	-0,003	0,002	0,005	0,001	-0,002
0,948	0,022	0,300	0,018	0,090	0,030	-0,034	0,001	0,003	0,000
0,938	0,322	-0,052	-0,055	-0,063	0,081	-0,006	-0,005	-0,004	0,000
0,974	0,078	-0,138	-0,157	0,039	-0,018	0,002	0,015	0,011	0,011
0,987	-0,036	-0,064	-0,120	0,059	-0,010	0,043	-0,018	-0,005	-0,010
0,983	-0,173	-0,028	0,041	-0,013	-0,020	-0,021	-0,026	-0,012	0,011
0,904	-0,415	0,040	0,062	-0,025	0,046	0,046	0,011	0,004	0,002
0,929	0,276	0,227	0,046	-0,053	-0,054	0,040	0,002	0,001	0,002
0,988	-0,133	-0,034	-0,002	-0,060	-0,021	-0,036	-0,008	0,022	-0,007
Выделенные и накопленные дисперсии (в %)
91,70	91,70
4,51	96,21
2,20	98,41
1,04	99,45
0,27	99,72
0,14	99,87
0,09	99,96
0,02	99,98
0,01	100,00
0,00	100,00
Повернутая матрица факторного отображения
0,713	0,442	0,451	-0,297	-0,002	-0,007	-0,045	0,014	-0,0000001	0,0000004
0,466	0,774	0,407	-0,130	0,033	0,021	-0,005	-0,024	-0,0000004	0,0000004
0,594	0,304	0,715	-0,165	0,024	0,122	0,004	-0,023	-0,0000002	0,0000001
0,353	0,617	0,599	-0,347	-0,126	-0,019	-0,004	0,017	0,0000001	-0,0000001
0,545	0,545	0,443	-0,458	0,021	0,011	-0,007	0,037	0,0000000	0,0000008
0,646	0,472	0,450	-0,389	0,012	0,013	0,004	-0,146	0,0000000	0,0000001
0,762	0,449	0,412	-0,210	0,004	0,003	-0,046	-0,028	0,0000000	0,0000036
0,903	0,273	0,307	-0,120	-0,015	0,001	0,038	0,000	-0,0000011	-0,0000001
0,394	0,452	0,777	-0,179	0,009	-0,071	-0,019	-0,008	-0,0000011	0,0000008
0,733	0,454	0,429	-0,255	-0,020	-0,024	-0,077	0,027	0,0000000	-0,0000004

Анализируя полученные результаты, приходим к выводу, что на ВНП самое сильное и значимое влияние оказывает только один фактор (дисперсия 91,70%).

Дата добавления: 2014-12-24