Преобразование активных ветвей

Пример 1.

Определить эквивалентное сопротивление цепи (рис. 10 а) между точками а и b при разомкнутом и замкнутом ключе. Дано:

R ₁ = R ₂ = R ₃ = R ₄ =R ₅ = R ₆ =R ₇ = 10 Oм.

Решение.

Заданная цепь при разомкнутом ключе изображена на рис. 10 б.

Искомое сопротивление определяем следующим образом:

При замкнутом ключе схема имеет вид, изображенный на рис.11.

Сопротивление цепи равно сумме двух сопротивлений, а именно

г) Формулы преобразования треугольника сопротивлений в эквивалент-. ную звезду и наоборот (рис. 12).

а) Замена ветви с несколькими источниками ЭДС ветвью с одной эквивалентной. ЭДС.

Условиями эквивалентности является равенство напряжений на зажимах (U _ab, рис.13) исходной и эквивалентной ветвей, а также токов в ветвях.

Величины Е _Э, R _Э можно определить с помощью второго закона Кирхгофа. Так, для исходной ветви (рис. 13)

. (13)

для эквивалентной ветви

. (14)

Сравнивая выражения (13) и (14), получим

. (15)

Формула (15) получена с учетом того, что направление эквивалентной ЭДС выбрано совпадающим с направлением тока в цепи. Отсюда следует простое правило расчета Е _Э: если направление ЭДС источника в исходной цепи (Е ₁, рис.13) совпадает с направлением тока, то она входит в правую часть формулы (15) со знаком плюс, иначе - минус (Е ₂, рис.13).

б) Замена параллельных ветвей, содержащих источники ЭДС и тока, одной эквивалентной.

Эквивалентная ЭДС и сопротивление определяются по следующим формулам:

. (16)

. (17)

где q – общее количество параллельных ветвей;

n – число ветвей, содержащих источники ЭДС;

m – число ветвей, содержащих источники тока.

В схеме (рис.14) направление эквивалентной ЭДС выбрано совпадающим с направлением тока. В этом случае знаки слагаемых в числителе формулы (16) можно определить по правилу: если направление ЭДС (источника тока) в исходной ветви совпадает с выбранным направлением эквивалентной ЭДС, то в числителе выражения (16) перед соответствующим слагаемым ставится знак плюс, иначе – минус.

Так для схемы (рис.14)

в) Эквивалентные преобразования активных треугольника и звезды.

При преобразовании треугольник – звезда в ветвях эквивалентной звезды содержатся как пассивные элементы (сопротивления), так и активные (источники ЭДС). Величины эквивалентных ЭДС определяются из условия равенства разности потенциалов между соответствующими узлами до и после преобразования при полном отключении преобразуемого участка от остальной части цепи (рис.15). В этом случае во всех ветвях треугольника течет ток

/ (18)

а в ветвях звезды токи отсутствуют.

Запишем второй закон Кирхгофа для ветви R ₁₂, E ₁₂ треугольника:

и для звезды

Поскольку величины напряжений U₁₂ в обеих схемах должны быть одинаковыми, получим

/ (19)

Аналогично для остальных ветвей имеем

/ (20)

/ (21)

Выражения (18) – (21) дают возможность определять величины эквивалентных ЭДС.

При переходе от треугольника к эквивалентной звезде с целью упрощения решаемой задачи величина ЭДС в одной из ветвей звезды может быть выбрана произвольно. Пусть, например, Е ₃ = 0 тогда из выражения (20), (21) получим

/ (22)

/ (23)

При переходе от звезды к эквивалентному треугольнику в качестве дополнительного условия можно принять

/ (24)

Тогда I _∆ = 0 и из (19) – (21) получим

.

.

.

Величины эквивалентных сопротивлений звезды и треугольника определяются по формулам (7) – (12).

Рассмотрим, например схему (рис.16), которая при помощи преобразования звезды с ветвями (R ₁, E ₁), (R ₂, E ₂), (R ₃, E ₃) в эквивалентный треугольник получает вид

(рис.17).

Выберем в качестве дополнительного условия

тогда

Рассмотрим преобразование треугольника 1 2 3 (рис. 16) в эквивалентную звезду, для чего выделим его из цепи (рис. 18 а).

Ток треугольника

Напряжения между узлами треугольника и звезды

Принимаем для упрощения, тогда

В итоге схема (рис. 16) принимает вид, представленный на рис. 19.

ЗАДАНИЕ

Задача 1.

Определить эквивалентное сопротивление R _Э (рис. 20, 21, 22) относительно указанных зажимов, если сопротивления равны 10 Ом.

Таблица 1

№ варианта
	R7=0	R4=¥	R3=0	R3=¥	R1=0	R1=¥	R2=0	R2=¥	R4=0 R5=0	R7=¥

Таблица 2

№ варианта
	R5=0 Rab=?	R5=¥ Rab=?	R4=0 Rab=?	R3=0 Rcd=?	R3=0 Rac=?	R1=¥ Rbd=?	R5=0 Rac=?	R2=0 Rcd=?	R4=¥ Rad=?	R2=¥ Rbc=?

Таблица 3

№ варианта
	R9=0 Rab=?	R4=¥ Rab=?	R7=¥ Rab=?	R8=0 R9=0 Rbc=?	R8=¥ R9=0 Rac=?	R8=0 R9=¥ Rkd=?	R8=0 Rcd=?	R2=0 R7=0 Rcb=?	R6=¥ Rck=?	R3=¥ R8=0 Rak=?

Задача 2.

Используя преобразования параллельных ветвей, упростить схему до трехконтурной. Составить уравнения по законам Кирхгофа для эквивалентной схемы.

Схемы к задаче 2:

Задача 3.

Используя взаимные преобразования активных треугольника и звезды, упростить схему до трехконтурной.

Схемы к задаче 3:

Задача 4.

В схеме (рис. 23) определить показания приборов, если сопротивления амперметров считать равными нулю, а сопротивления вольтметров – бесконечно большими. Напряжение источника U=20 В.

Таблица 5

Вариант	Данные к задаче 4
R1, Ом	R2, Ом	R3, Ом	R4, Ом	R5, Ом	R6, Ом	R7, Ом	R8, Ом
	¥
						∞
				∞
	¥
					¥
			¥
				¥
				¥
								¥
		¥
	¥						¥
					¥			2,5
						¥
				¥
	¥
						¥
								7,5
		¥					¥
								¥
	¥
		¥
			¥
				¥
	¥
					¥
		¥

Задача 5.

В цепи (рис. 24) три источника питания, ЭДС которых равны Е ₁, Е ₂, Е ₃; их внутренние сопротивления соответственно равны R₀₁=0,1 Ом; R₀₂=0,2 Ом; R₀₃=0,3 Ом. Отдельные ветви цепи могут быть разомкнуты при помощи рубильников Р₁, Р₂, Р₃, Р₄, Р₅, Р₆. Сопротивления в пассивных ветвях R₁=1,5 Ом; R₂=2 Ом; R₃=2,5 Ом; R₄=2 Ом; R₅=R₆=R₇=R₈=3 Ом. Определить по методу непосредственного применения законов Кирхгофа токи во всех ветвях и режимы работы источников энергии. Составить баланс мощностей.

Таблица 6

Вариант	Данные к задаче 5
Е1, В	Е2, В	Е3, В	Разомкнуты рубильники
				Р4, Р5, Р6
				Р2, Р5, Р6
				Р2, Р4, Р5
				Р1, Р4, Р6
				Р2, Р3, Р6
				Р4, Р5, Р6

Продолжение табл. 6

Вариант	Данные к задаче 5
Е1, В	Е2, В	Е3, В	Разомкнуты рубильники
				Р2, Р4, Р5
				Р2, Р3, Р6
				Р1, Р4, Р6
				Р2, Р5, Р6

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. – М.: Энергоатомиздат, 1989. – 528 с.

2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. – М.: Высш. шк., 1996. – 638 с.

3. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники.– М.: Энергия, 1981. Ч. 1. – 536 с.

4. Теоретические основы электротехники. / Под ред. П.А. Ионкина. – М.:

Высш. шк., 1976. Т. 1. – 544 с.

5. Атабеков Г.И. Теоретические основы электротехники. – М.: Энергия,

1978. Ч. 1. – 592 с.

Составители: О. П. Куракина, В. Л. Федоров

Редактор В. А. Маркалева

ЛР № 020321 от 28.11.96

Подписано в печать. Формат 60x84 1/16.

Оперативный способ печати. Усл. печ. л. 2.0. Уч..-изд. л. 2.0

Бумага офсетная. Тираж. Заказ.

Издательство ОмГТУ. 644050, Омск, Пр. Мира, 11

типография ОмГТУ

Дата добавления: 2014-12-24