Многомодельная система и дискретный решатель ДАУ

Моделирование физической системы очень часто приводит к ДАУ с дискретностью или многомодельности. Многорежимная формулировка - способ описать негладкие мультимодельные системы в терминах конечного числа гладких систем. Идея состоит в том, чтобы разделить состояние системы на различные области и определить способ перехода к нужной области. Предполагается, что система описана в терминах единственной гладкой модели в пределах каждой области. Простой пример многорежимного ДАУ:

If (x > 0) then

f1(x, ) = 0 else

f2(x, ) = 0.

В уравнениях для простоты опущен параметр t.

Т.о., гибридная модель может быть составлена из нескольких моделей таким образом, что каждая модель действительна в определенной области. Как физический пример, рассмотрим водный резервуар с открытым выходом.

В этой системе x, уровень воды в резервуаре, может быть выражен как функция Q, вытекающего потока воды:

= k1Q,

где k1является постоянным. Q может также быть выражено как функция x:

Следовательно, поведение этой простой модели описано мультимодельной системой, составленной из двух уравнений. Это разделение с предположением гладкости в каждой области очень важно, потому что негладкие системы не могут обращаться непосредственно к решателю. Численные решатели предполагают, что переменные и их первые производные непрерывны. Если это предположение не верно, в точках разрыва должны быть предприняты специальные меры.

Чтобы избежать этой проблемы, числовой решатель должен использовать ОДУ/ДАУ до пункта разрыва и затем отдельно после. В большинстве случаев точка разрыва непредсказуема, и она должна быть обнаружена. Чтобы обнаружить и ограничить область разрыва, решатели используют блоки пересечения нуля, которые пересекают его в точке разрыва. Например, для примера резервуара мы можем использовать уравнение:

G_zc (x) = x – H_outlet.

Благодаря этой функции решатель может найти точный момент появления разрыва. В некоторых случаях он останавливается с сообщением об ошибке, когда шаг становится слишком маленьким, в других случаях счет может продолжиться с ошибочным результатом. В качестве примера рассмотрим простую систему.

На левом рисунке, представлен результат моделирования, без учета неоднородности и нулевого пересечения. Справа правильный результат моделирования.

Дата добавления: 2014-12-25