Задачі математичного і лінійного програмування

Дослідження різних процесів, у тому числі й економічних, звичайно починається з їхнього моделювання, тобто відображення реального процесу через математичні співвідношення. При цьому складаються рівняння або нерівності, які зв'язують різні показники (змінні) досліджуваного процесу та утворюють систему обмежень. У цих співвідношеннях виділяються такі змінні, змінюючи які можна одержати оптимальне значення основного показника даної системи (прибуток, доход, витрати й т.п.). Відповідні методи, що дозволяють вирішувати зазначені задачі, об'єднуються під загальною назвою "математичне програмування" або "методи дослідження операцій".

Математичне програмування містить у собі такі розділи математики, як лінійне, нелінійне й динамічне програмування. Сюди відносять також стохастичне програмування, теорію ігор, теорію масового обслуговування, теорію керування запасами й деякі інші.

Отже, математичне програмування – це розділ вищої математики, присвячений розв'язанню задач, пов'язаних зі знаходженням екстремумів функцій кількох змінних при наявності обмежень на змінні.

Математичне програмування виникло в 30-і роки ХХ ст. Угорський математик Б. Егерварі в 1931 році розв’язав задачу, названу "проблемою вибору". Американський учений Г. Кун узагальнив цей метод, після чого він став називатися "угорським" методом. В 1939 р. російський учений Л. В. Конторович розробив метод розв'язуючих множників розв'язання задач лінійного програмування. Великий внесок у розвиток математичного програмування внесли американські вчені. В 1947 р. американський учений Дж. Данут описав один з основних методів розв'язання задач лінійного програмування, що одержав назву “симплексний”.

Побудова математичної моделі економічної задачі включає наступні етапи: 1) вибір змінних задачі; 2) складання системи обмежень; 3) вибір цільової функції.

Змінними задачі називаються величини , які повністю характеризують економічний процес. Їх звичайно записують у вигляді .

Система обмежень містить у собі систему рівнянь і нерівностей, яку задовольняють змінні задачі і які випливають із обмеженості ресурсів або інших економічних та фізичних умов, наприклад, умови позитивності змінних і т.п.

Цільовою функцією називають функцію змінних задачі, що характеризує якість виконання задачі, і екстремум якої потрібно знайти.

Загальна задача математичного програмування формулюється так: знайти екстремум цільової функції

(1)

і відповідні йому значення змінних за умови, що ці значення задовольняють систему обмежень

(2)

Якщо цільова функція (1) і система обмежень (2) лінійні, то задача математичного програмування називається задачею лінійного програмування (ЗЛП).

У загальному випадку ЗЛП може бути записана у вигляді:

(3)

(4)

(5)

Даний запис означає наступне: знайти екстремум цільової функції задачі (3) і відповідні йому значення змінних за умови, що ці значення задовольняють систему обмежень (4) і умови невід’ємності (5).

Допустимим розв'язком (планом) ЗЛП називається будь-який n- мірний вектор , що задовольняє систему обмежень й умови невід’ємності.

Множина допустимих розв'язків (планів) задачі утворює область допустимих розв'язків (ОДР).

Оптимальним розв'язком (планом) ЗЛП називається такий допустимий розв'язок (план) задачі, при якому цільова функція досягає екстремуму.

Так як у цьому випадку розв’язується задача на екстремум, то виникає питання: чи можна використовувати класичні методи дослідження на екстремум функції багатьох змінних. Застосуємо необхідну умову екстремуму функції, яка полягає в тому, що часткові похідні функції багатьох змінних або дорівнюють нулю, або не існують. У цьому випадку

Але якщо всі , то і , тобто екстремум функції не досягається. Пов'язано це з тим, що похідну можна використати для визначення екстремуму тільки у внутрішніх точках області розв'язання, а в цьому випадку екстремум, як буде показано далі, знаходиться на межах області. Звідси й виникає необхідність розробки спеціальних методів пошуку екстремуму.

Дата добавления: 2014-12-25