Ответ: Итак, совхоз должен приобрести 10 трехтонных и 5 пятитонных автомашин. В этом случае общая грузоподъемность составит 55 тонн

Задача №4

Заданные осциллограммы представить приближенно в виде суперпозиции гармоник. В разложении сохранить постоянное слагаемое и первые четыре гармоники. Найти коэффициенты разложения и начальные фазы гармоник. Для определения коэффициентов и фаз измерить и использовать ординаты точек на осциллограммах для 13 равноотстоящих значений абсциссы 0, 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, 270, 300, 330 и 360 градусов. Измерения выполнить с точностью до двух значащих цифр, а вычисления – с точностью до трех значащих цифр. Построить график осциллограммы и найденного разложения.

Рисунок 21 – График осциллограммы

Решение. Определим по графику ординаты для заданных значений абсциссы и запишем их в таблицу. В технике обычно углы измеряются в градусах, но в математике удобнее использовать радианы – для упрощения формул. Кроме того, большинство компьютерных программ общего назначения в тригонометрических функциях по умолчанию используют радианы в качестве меры угла. Поэтому значения x в таблице имеет смысл записать в радианах по формуле

. (4)

Таблица 5 – Заданные значения

n
x		0,524	1,05	1,57	2,09	2,62	3,14	3,67	4,19	4,71	5,24	5,76	6,28
y	0,11		–1	–2	–3	–3	–3	–2	–1		1,2	1,2	1,2

Поскольку измеряется в радианах, причем , формула для разложения функции в ряд Фурье имеет вид

(5)

Коэффициенты разложения определяются по формулам

, (6)

, (7)

. (8)

В нашей задаче аналитический вид функции неизвестен, но мы нашли значения функции в нескольких точках, поэтому можем вычислить интегралы приближенно, например, по формуле трапеций:

, (9)

, (10)

, (11)

где

Все параметры в формулах (9–11) заданы в таблице 5, поэтому вычислим значения и заполним первые 3 столбца таблицы 6. Например, для получим

и т.д.

Таблица 6 – Парметры ряда Фурье

k
	–1,99
	1,85	–1,12	2,2	2,12
	–0,05	–0,06	0,081	–2,46
	–0,09	–0,03	0,096	–1,88
	–0,1		0,1	–1,52

Во многих технических приложениях вместо суммы функций записывают одну функцию , которая представляет собой синусоиду с таким же периодом, но сдвинутую влево относительно на . Функцию принято называть гармоникой. Ее параметры выражаются через и по формулам

, (12)

(13)

Если значение , вычисленное по формуле (13), превышает , то из него можно вычесть , так как синус – периодическая функция. С учетом формул (12, 13), формула (5) приобретает следующий вид

(11)

По формулам (12,13) заполним два последних столбца таблицы 6. Подставим найденные коэффициенты в формулу (14) и получим приближенное разложение в ряд Фурье для нашей осциллограммы

(15)

Для построения графика функции вычислим значения функции по формуле (15) для всех значений из таблицы 5.

Таблица 7 – Значения функции по данным значениям аргумента

n
x		0,524	1,05	1,57	2,09	2,62	3,14	3,67	4,19	4,71	5,24	5,76	6,28
	0,64	0,0001	–0,95	–2,2	–2,9	–3,1	–2,9	–2	–1	0,069	1,2	1,3	0,64

Построим в одной системе координат график исходной осциллограммы и график ее разложения по гармоникам. Для этого построим точки с координатами из таблицы 5 и соединим их плавной линией черного цвета, затем построим точки с координатами из таблицы 7 и соединим их плавной линией синего цвета. При построении точек следует перевести абсциссы обратно в градусы по формуле

Полученный график показан на рисунке 22.

Рисунок 22 – Исходная осциллограмма и ее разложение в ряд Фурье

На этом графике – исходная осциллограмма, – ее разложение в ряд Фурье. Графики близки друг к другу при всех значениях x за исключением крайних точек и . Дело в том, что – функция непрерывная и периодическая, для нее . В то же время, для нашей осциллограммы . Если ее график периодически продолжить на всю ось Оx, то точки и станут точками разрыва. В точках разрыва равно полусумме левостороннего и правостороннего пределов функции .

Задача №5

В задаче приведены данные по группе хозяйств о дозах внесения удобрений на 1 га посева зерновых в ц. (Х) и об урожайности зерновых культур в ц. с 1 га. (Y). Методом корреляционного анализа нужно исследовать зависимость меду этими признаками, построить корреляционное уравнение (уравнение регрессии), рассчитать коэффициент корреляции и построить график корреляционной зависимости. Сформулируем выводы корреляционного анализа.

Решение. Для решения следует составить вспомогательную таблицу.

Вспомогательная таблица для расчета коэффициентов регрессии и корреляции

x	y	x2	y2	xy
				23.0
1.1		1.21		27.5
2.9		8.41		87.0
3.9		15.21		140.4
…	…	…	…	…
Суммы
∑x=35.5	∑y=216.6	∑x2=137.49	∑y2=5011.1	∑xy=827.31

Коэффициенты регрессии можно получить, составив и решив уравнения связь. Простейшим из них является уравнение прямой типа

Для определения параметров уравнения а₀ и а₁ надо составить и решить систему нормальных уравнений с двумя неизвестными:

∑y=na₀+a₁∑x;

∑xy=a₀∑x +a₁∑x².

Подставляя данные табл. VII в систему, получим:

Освобождаемся от коэффициентов при а₀, для чего первое уравнение делим на 10, второе — на 35.5:

Из второго уравнения вычитаем и получим: 23,30—21.66=а₀—а₀+(3.87-3.55)а₁, отсюда а₁=5.125. Подставляя значение а₁ в любое уравнение, получаем значение а₀=3.47. Уравнение примет вид

Коэффициент регрессии, равный 5.125 показывает, что с увеличением дозы внесения удобрений на единицу урожайности возрастает на 5.125 ц с 1 га в данных условиях.

Для расчета коэффициента корреляции целесообразно использовать формулу:

,

Где

Тогда

Ответ. r_xy=0.965

Вывод: вязь между урожайностью и дозой внесения удобрений тесная, так как коэффициент корреляции близок к единице.

Для построения графика (прямой корреляционной зависимости) надо использовать полученное уравнение связи, поочередно подставляя в него значения «х», например:

У_х=3.47+5.125×1=8.595≈8.6;

У_х=3.47+5.125×1.1=9.107≈9.1;

У_х=3.47+5.125×2.9=18.332≈18.3 и т.д.

Затем на оси абсцисс откладываем значения «х» - факторного признака, на оси ординат – результативного признака и соответствующие точки, находящиеся на пересечении этих признаков, соединяются прямой линией.

Дата добавления: 2014-12-26