Теплоотдачи

Пример однородного тела Процесс нагрева без

При неизменной мощности нагрева

Зависимость температуры тела от времени

НАГРЕВ ОДНОРОДНОГО ТЕЛА

Однородное тело - простейший случай задачи. Это – такое тело, температура которого изменяется одинаково во всех его точках.

В качестве такого тела можно рассмотреть ведро или большую банку с водой. Если в эту банку опустить кипятильник и включить его в сеть, то в каждую секунду однородное тело - вода – будет получать Р Джоулей тепловой энергии, которая будет нагревать воду (рис.2.1). Во времени этот процесс будет выглядеть так.

Р t = C J, (2-1)

где J - температура тела, а C = с_o m - теплоемкость тела

массой m.

Зависимость температуры воды от времени можно представить графически. Каков будет вид этого графика?

Рис. 2.1. Рис 2.2.

Такой, как на рисунке 2.2? Достигнет ли вода точки кипения в условиях нашей задачи?

Если бы наша банка с водой была идеально изолирована от всего остального пространства, если бы тепло от этого тела не отводилось, то температура повышалась бы пропорционально времени, как на рис. 2.2, и уравнение

(2-1) описывало бы нагрев воды правильно до того момента времени, пока вода не перешла бы в другое агрегатное состояние (закипела).

На самом же деле при мощности кипятильника, например, 300 Вт, вода в ведре не закипит никогда, не закипит она даже в пятилитровой банке. Почему?

Сосуд с водой находится в атмосфере, а воздух – физическое тело. Вода будет иметь все более отличающуюся от воздуха температуру, и по закону природы тепло от более нагретого тела будет естественным путем передаваться к телу менее нагретому - воздуху. Таким образом, воздух будет участвовать в этом процессе в качестве охлаждающей среды.

Для описания процесса передачи тепла от более нагретого тела к телу, менее нагретому, в физике существует такое понятие, как коэффициент теплоотдачи А. Он численно равен энергии, отдаваемой менее нагретому телу (охлаждающей среде) за 1 секунду при повышении разности температур на 1 градус Цельсия.

[А] = Дж /( градсек ) = Вт / град.

Итак, тело участвует в двух процессах - нагревается и отдает тепло в охлаждающую среду, причем второй процесс идет тем интенсивнее, чем больше разность температур. Можно предположить, что через какое-то время процесс нагрева тела достигнет такой стадии, когда вся поступаемая от источника тепловая энергия будет передаваться в охлаждающую среду.

В этом случае процесс нагрева тела закончится. Разность

температур больше изменяться не будет ("установится") и будет называться установившейся разностью температур или установившимся перегревом.

Уравнение теплового баланса в этом случае примет вид

Р = А J_у, (2-2)

где J_у - установившаяся разность температур воды и воздуха или установившийся перегрев воды над воздухом.

В дальнейшем буквой J условимсяобозначатьименно перегрев тела над охлаждающей средой.

Рассмотрим следующую ситуацию. Если бы тело имело абсолютную теплоизоляцию, то установившийся перегрев J_у был бы достигнут за какое-то время Т. На основании уравнения (2-1)энергия, поступившая в тело, полностью пошла на нагрев этого тела

Р Т = C J_у (2-3)

Но с другой стороны из (2-2)

J_у = Р/А (2-4)

Подставляя (2-4) в (2-3) и сокращая Р, получим

Т = C/А = с_оm /А. (2-5)

Получили какой-то временной показатель, зависящий от характеристик данного тела - материала (с_o), массы m, площади поверхности (коэффициент теплоотдачи А), но не зависящий ни от мощности нагрева, ни от температуры. Это соотношение теплоемкости и теплоотдачи называют постоянной времени нагрева тела Т.

Отметим, что эта величина постоянна только для данного тела и для другого нагреваемого тела будет иметь свое значение, отличное от других, причем более массивные тела будут иметь и бо′льшие значения этой постоянной.

Запишем уравнение теплового баланса для элемента

времени dt. Поступившая за этот элемент времени энергия Р dt будет частично расходоваться на нагревание тела, а частично – передаваться в охлаждающую среду.

Р dt = C dJ + А J dt, (2-6)

где J - разность температуры тела и температуры охлаж-дающей среды, то есть перегрев тела над охлаждающей средой.

Перепишем (2-6) следующим образом

dt(Р - А J) = C dJ. (2-7)

Разделим выражение (2-7) на А

dt(Р/А - J) = С/А dJ (2-8)

и перепишем его с учётом (2-5) и (2-4)

dt (J_у - J) = Т dJ (2-9)

Разделим выражение (2-9) на (J_у - J).

dt = Т dJ/(J_у - J) (2-10)

Интеграл от обеих частей этого уравнения

t = -Т Ln(J_у - J) + В. (2-11)

Постоянную В определим из следующего условия. В начальный момент времени t=0 перегрев тела над охлажда-ющей средой имел какое-то начальное значение J_н. Тогда

0 = -Т Ln(J_у - J_н) + В

или

В = Т Ln(J_у - J_н) (2-12)

Подставляя (2-12) в (2-11) получим

dt = -Т Ln(J_у - J) + Т Ln(J_у - J_н). (2-13)

Разделим выражение (2-13) на (-Т).

-t/Т = Ln(J_у - J) - Ln(J_у - J_н)

или

- t/Т = Ln[(J_у - J)/(J_у - J_н)] (2-14)

Представим обе части выражения (2-14) в виде

показателей степени основания натуральных логарифмов

Exp(-t/Т) = (J_у - J)/(J_у - J_н)

или

(J_у - J_н) Exp(-t/Т) = (J_у - J) (2-15)

Окончательно получим выражение зависимости J= f (t)

J = J_у - (J_у - J_н) Exp(-t/Т) (2-16)

или

J = J_н Exp(-t/Т) + J_у [1-Exp(-t/Т)] (2-17)

Эта форма решения исходного уравнения (2-6) широко применяется при расчетах тепловых процессов на ЭВМ, что будет рассмотрено в следующем параграфе. Для понимания процесса нагревания однородного тела как перехода от начального значения перегрева J_н к устано-вившемуся J_у более удобна другая форма решения. Прибавим и вычтем из правой части уравнения (2-17) J_н.

J = J_н - J_н + J_нExp(-t/Т) + J_у [1-Exp(-t/Т)]

или

J = J_н - J_н[1-Exp(-t/Т)] + J_у[1-Exp(-t/Т)]

или

J = J_н + (J_у - J_н)[1-Exp(-t/Т)] (2-18)

Здесь первое слагаемое - начальное значение перегрева тела над охлаждающей средой в момент начала действия

нагревающей мощности Р, а второе - температурная разность, которая преодолевается по возрастающей кривой

(рис. 2.3).

Очень важный момент. В исходном дифференциаль-ном уравнении (2-6) было два аргумента – время t и величина нагревающей мощности Р, точнее - аргумент t и параметр Р. Но в полученных выражениях (2-17) и (2-18),

представляющих собой зависимость J= f (t), нагревающая мощность Р отсутствует, выпала из них.

Рис. 2.3.

Дата добавления: 2014-12-26