Совершенная дизъюнктивная нормальная форма

Дизъюнктивная нормальная форма и

Функции алгебры логики

Значение формулы алгебры логики полностью зависит от значений входящих в нее высказываний. Поэтому такая формула может считаться функцией входящих в нее элементарных высказываний. Например, (x Ù y) ® Ø z является функцией f (x, y, z). Естественно, значения этой функции и входящих в нее элементов могут принимать значения истина или ложь. Тождественно истинные или тождественно ложные функции представляют собой константы.

Каждую функцию алгебры логики можно записать в виде формулы или представить таблицей истинности. Как уже было отмечено выше, таблица истинности для n переменных содержит 2 ⁿ строк. Следовательно, каждая функция алгебры логики принимает 2 ⁿ значений, состоящих из 0 или 1. Общее же число наборов значений, состоящих из 0 и 1, длины 2 ⁿ равно 2^{2 n}. В частности, число различных функций от одной переменной равно четырем.

х	f 1(x)	f 2(x)	f 3(x)	F 4(x)
0	1	1	0	0
1	1	0	1	0

Из этой таблицы следует, что две функции являются константами f ₁(x) = 1 и – f ₂(x) = x, а остальные f ₃(x) = Ø x и f ₄(x) = 0.

Элементарной конъюнкцией n переменных называется конъюнкция переменных или их отрицаний.

Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) формулы А называется равносильная ей форму­ла, представляющая собой дизъюнкцию элементарных конъюнкций.

Для любой формулы алгебры логики путем равно­сильных преобразований можно получить ее ДНФ, при­чем не единственную.

Например, для формулы А = х Ù (х ® y) имеем:

А = х Ù (Ø х Ú y) = (х Ù Ø х) Ú (х Ù y) = х Ù y, то есть

ДНФ А = (х Ù Ø х) Ú (х Ù y) и

ДНФ А = х Ù y.

Среди многочисленных ДНФ А существует единствен­ная ДНФ А, для которой выполняются перечисленные выше четыре свойства совершенства. Такая ДНФ А называется совершенной дизъюнктив­ной нормальной формой формулы А (СДНФ А).

Как уже указывалось, СДНФ А может быть получе­на с помощью таблицы истинности.

Другой способ получения СДНФ формулы А основан на равносильных преобразованиях формулы и состоит в следующем:

1. путем равносильных преобразований формулы А получают одну из ДНФ А.
2. если в полученной ДНФ А входящая в нее эле­ментарная конъюнкция В не содержит переменную x_i, то, используя закон B Ù (x_i Ú Ø x_i) = B, элемен­тарную конъюнкцию B заменяют на две элементарных конъюнкции (B Ù x_i) и (B Ù Ø x_i), каждая из которых со­держит переменную x_i.
3. если в ДНФ А входят две одинаковых элементар­ных конъюнкции В, то лишнюю можно отбросить, пользу­ясь равносильностью В Ú В = В.
4. если некоторая элементарная конъюнкция В, вхо­дящая в ДНФ А, содержит переменную x_i и ее отрица­ние Ø x_i, то, на основании закона x_i Ù Ø x_i = 0, В = 0 и В, таким образом, можно исключить из ДНФ А, как нулевой член дизъюнкции.
5. если некоторая элементарная конъюнкция, вхо­дящая в ДНФ А, содержит переменную x_i дважды, то одну переменную можно отбросить, пользуясь законом x_i Ù x_i = x_i.

Ясно, что после выполнения описанной процедуры будет получена СДНФ А. Например, для формулы А = x Ú y Ù (x Ú Ø y)ДНФ А = x Ú (x Ù y) Ú (y Ù Ø y). Так как элементарная конъюнкция В = х, входящая в ДНФ А, не содержит переменной у, то заменим ее на две элементарных конъюнкции (x Ù y)и (x Ù Ø y),В результате получим ДНФ А = x Ù y Ú x Ù Ø y Ú x Ù y Ú y Ù Ø y.

Так как теперь ДНФ А содержит две одинаковых элементарных конъюнкции x Ù y,то отбросим лишнюю. В резуль­тате получим ДНФ A = x Ù y Ú x Ù Ø y Ú y Ù Ø y.

Так как элементарная конъюнкция y Ù Ø y содержит переменную у и ее отрицание, то y Ù Ø y =0, и ее можно отбросить как нулевой член дизъюнкции.

Таким образом, получаем СДНФ А = x Ù y Ú x Ù Ø y.

Дата добавления: 2015-04-24