III.Исследование функций с помощью производной

II. Дифференциальное исчислениефункции одной переменной.

ПЕРЕЧЕНЬ ПРИМЕРНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ

I. Введение в анализ: множества, функция. Предел и непрерывность функции одной переменной

1. Найти область определения функции:

а) ;

б) .

2. Построить график функции y = |x| + |x² - 9|.

3. Найти точки разрыва функции

4. Вычислить:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) .

5. Записать уравнения касательной и нормали к графику функции:

а) в точке t = 5;

б) в точке x = 4.

6. Найти производные второго порядка от функций:

а) y² + xy = 0;

б) .

7. Найти асимптоты графика функции:

а) ; б) .

8. Найти дифференциал функции:

а) ; б) .

9.Используя понятие дифференциала, вычислить:

а) ; б) е^0,97; в) ln(e + 0,03).

11.Для функции спроса в зависимости от цены x найти эластичность спроса y по цене в точке x = 4.

12.Найти экстремумы функции .

13.Исследовать возрастание и убывание функции y = 2x³ + 18x² – 42x.

14.Найти точки перегиба функции y = x⁴ + 6x² – 8.

15.Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = 4x³ – 6x – 3 на [0; 3].

IV.Неопределённый интеграл.

18. Найти интегралы методом интегрирования по частям:

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) .

19. Найти интегралы, используя подходящую подстановку:

a) ; b) ;

c) ; d) ;

e) ; f) ;

g) ; h) .

20. Найти интегралы от рациональных функций:

a) ;

b) ;

c) .

21. Найти интегралы от тригонометрических функций:

a) ; b) ;

c) ; d) .

V.Определённый интеграл.

22. Вычислить определенные интегралы:

a) ; d) ;

b) ; e) .

c) ;

23. Зависимость производительности q от времени t задается функцией q(t). Найти количество продукта Q, производимого за время a ≤ t ≤ b.

23.1. q(t) = 80+ , a = 5, b = 10;

23.2. q(t) = 10+ , a = 0, b = 12.

24. Найти среднюю производительность q_ср за время a ≤ t ≤ b, если производительность q зависит от времени t по закону:

a) q(t) = , 0 ≤ t ≤ 10;

b)q(t) =arctgt, 5 ≤ t ≤ 10;

c)q(t) =5+ , 0 ≤ t ≤ 10π.

25. Количество электроэнергии q, потребляемое за единицу времени, зависит от времени t. Сколько электроэнергии потребляется за время a ≤ t ≤ b, если:

a) q(t) =100+10sin t+5sin t, 9 ≤ t ≤ 20; b)q(t) = , 5 ≤ t ≤ 10.

26. Затраты предприятия на содержание управленческого аппарата определяются функцией f(t)= . Какими будут затраты за время 6 ≤ t ≤ 12?

27. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми:

a)y = x²-6x+5, y = 0;b)y = x²+1, y = x+3.

28. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной линиями

a) x²-y²=a², x=±2a; b) 2y²=x³, x=4.

29. Вычислить несобственные интегралы.

29.1. ; 29.4. ;

29.2. ; 29.5. ;

29.3. ; 29.6. .

31. Исследовать сходимость:

31.1. ; 31.4. ;

31.2. ; 31.5. .

31.3. ;

Дата добавления: 2015-04-24