Сущность метода электроаналогий

МЕТОД ЭЛЕКТРОАНАЛОГИЙ

С появлением электротехники в ней стали широко применяться электрические схемы в качестве наглядных образов исследуемых объектов. Электрические схемы глубоко изучены. В отличие от механической энергии электрическая энергия передается в электрических цепях посредством ветвей, содержащих резисторы,

конденсаторы, катушки индуктивности и др., а перераспределяется электрическая энергия между ветвями посредством узлов. Поэтому электрические процессы можно исследовать с помощью известных понятий: электрического тока, напряжения, э.д.с. Математическое описание электрических процессов часто совпадает с описанием процессов в объектах иной физической природы, что позволяет исследования явлений в неэлектрических системах заменить исследованиями аналогичных явлений в электрических цепях [5].

Современные сложные машины и механизмы представляют собой совокупность взаимодействующих механических, гидравлических, пневматических, электрических и других компонентов. Их динамические характеристики описываются

уравнениями, которые связаны с механическими и электромагнитными явлениями, свойствами движущихся жидкостей и газов, распространением магнитных и тепловых потоков и т.д.

Сравнивая компонентные уравнения различных видов систем, легко обнаружить их динамические аналогии (табл. 6.1). Топологические уравнения этих систем также абсолютно аналогичны. В этом проявляется единство физических законов,

применимых к разнообразным формам существования материи. Аналогия систем различной физической природы также видна, если сравнить единицы измерений потенциальных и потоковых переменных (табл. 6.2).

Метод электроаналогий не сводится к простой замене законов механики законами электротехники. Такая замена в общем случае невозможна. Например, чтобы построить электромеханическую модель движения твердого тела вокруг неподвижной точки, необходимо рассматривать векторную функцию изменения момента

количества движения и тензор инерции, определяющие динамику твердого тела. Законы электрических цепей выражаются скалярными функциями и не могут полностью заменить законы теоретической механики.

Таблица 6.1

Компонентные уравнения

Таблица 6.2

Единицы физических переменных

Концепция метода электроаналогий основана на том, что этот метод добавляет к законам теоретической механики законы электротехники. Это позволяет расширить представление о происходящих явлениях и формализовать синтез математических моделей сложных механических систем. Отметим основные аспекты

данной концепции.

Первый аспект – возможность применения для решения задач законов Кирхгофа из электротехники. Они дают электрическим моделям значительное преимущество перед моделями иной физической природы, так как в других областях техники нет законов, полностью адекватных законам Кирхгофа. Это замечание, прежде всего, относится к механическим объектам, которые обычно представляют в виде структурно-кинематических схем. Кинематическая схема характеризует одновременно геометрию механизма и его движение, что затрудняет топологическое представление механических систем.

Наиболее сложно в механике применить аналог первого закона Кирхгофа, в соответствии с которым сумма токов в узле электрической схемы равна нулю. Продифференцировав уравнение токов в узле, получим важное следствие, вытекающее из первого закона Кирхгофа: сумма производных токов (применительно к

механике – ускорений) в узле также равна нулю. Данное утверждение в терминах механики не столь очевидно, как в электротехнике.

Второй аспект – применение в эквивалентных электрических схемах замещения идеальных трансформаторов, как с постоянными, так и с переменными коэффициентами трансформации.

Трансформатор с переменным коэффициентом трансформации (случаи плоских криволинейных и пространственных движений тел) представляет собой амплитудный модулятор напряжений, токов и производных токов. Математическое описание таких объектов уравнениями механики затруднительно.

Третьим аспектом концепции метода электроаналогий являются электрические разъемные соединения, с помощью которых эквивалентные электрические схемы замещения можно собирать из отдельных независимых модулей (подсистем), что позволяет конструировать математические модели по агрегатному (расширяемому) принципу.

Основной подход математического моделирования с использованием электромеханических аналогий сводится к следующей последовательности действий:

1) разделить механическую систему на отдельные подсистемы, каждая из которых включает одну сосредоточенную массу;

2) применяя принцип Даламбера, составить уравнения кинетостатики, определяющие движение тела с выделенной массой;

3) спроектировать векторные уравнения кинетостатики на координатные оси и заменить векторные соотношения скалярными;

4) используя таблицу электроаналогий (табл.6.1), выделить в механической системе инерционные, диссипативные и упругие элементы;

5) построить на основе полученных уравнений эквивалентную электрическую схему замещения;

6) на основе электрической схемы записать уравнения по первому закону Кирхгофа и уравнения трансформаторов. Продифференцировать эти уравнения и добавить к уравнениям теоретической

Рис. 6.1 Груз на двух механики.

пружинах.

Уравнения по второму закону Кирхгофа записывать не нужно, так как они совпадают с уравнениями кинетостатики для сил и моментов. Рассмотрим общий подход к синтезу имитационных моделей методом электроаналогий на простейших примерах.

Дата добавления: 2015-04-24