Некоторые сведения о линейных дифференциальных уравнениях первого порядка

Краткая теория

Математические модели сложных систем

Лабораторные работы

для студентов

радиотехнической специальности 160905

Издательство ФГОУ ВПО ВГАВТ

Н.Новгород

Общая схема математического моделирования

Математическое моделирование включает решение двух задач: составление математической модели и ее исследование.

Основные этапы математического моделирования:

1. постановка задачи и определение объекта исследования;
2. идеализация и упрощение объекта;
3. составление первоначальной математической модели, выделение основных параметров;
4. выбор и реализация методов исследования математической модели;
5. сопоставление результатов исследования, с тем что известно об объекте;
6. внесение корректив в математическую модель;
7. выводы и рекомендации.

Из каждого этапа возможны возвраты к предыдущим. Необходимо учесть, что чем проще модель, тем меньше возможностей ошибиться. Модель должна быть простой, но не проще, чем это возможно. Модель должна быть грубой, малые возможные и допустимые поправки не должны кардинально менять ее поведение. При анализе результатов важно понимание почему и как все происходит и как поведение системы зависит от параметров.

Рассмотрим математические модели некоторых объектов, процессов или явлений, называемых динамическими системами. Различают системы с дискретным временем и системы с непрерывным временем.

Динамическая система (как с дискретным, так и с непрерывным временем) является по существу синонимом автономной системы дифференциальных уравнений, заданной в некоторой области и удовлетворяющей там условиям теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения. Положениям равновесия динамической системы соответствуют особые точки дифференциального уравнения, а замкнутые фазовые кривые — его периодическим решениям.

Основное содержание теории динамических систем — это исследование кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. Сюда входит разбиение фазового пространства на траектории и исследование предельного поведения этих траекторий Важнейшие понятие теории динамических систем — это устойчивость (способность системы сколь угодно долго оставаться около положения равновесия или на заданном многообразии) и грубость (сохранение свойств при малых изменениях структуры динамической системы).

Определение: Линейное дифференциальное уравнение (ДУ) первого порядка вида

, (1)

называется неоднородным или неавтономным уравнением. Ему соответствует однородное или автономное д.у.

(2)

которое имеет общее решение

, (3)

Анализ всего семейства решений:

Пусть - начальное условие, тогда . Нулевое начальное условие влечет . Это состояние равновесия системы (нулевое решение ДУ(2)).

При ненулевых начальных условиях - экспоненциальный процесс ( меняется экспоненциально с изменением времени) затухающий при (убывающий до нуля) и возрастающий при .

Прямая называется фазовой прямой.

Неустойчивое состояние равновесия

Устойчивое состояние равновесия

Плоскость (x; ẋ) называется фазовой плоскостью

При λ<0 состояние равновесия x*=0 – неустойчиво.

При λ>0 состояние равновесия x* – устойчиво.

Стрелка указывает движение изображающей точки во времени.

Случай

(4)

Очевидно, - постоянное решение (4). Это состояние равновесия уравнения (4). Замена переменной в (4) приводит (4) к виду

(5)

но это есть уравнение (2), тогда общее решение уравнения (4) записывается в виде:

Фазовые прямые имеют вид:

Общий случай в (1)

ДУ (1) решаем методом вариации произвольной постоянной: решение ищем в виде

,

Уравнение для нахождения c(t): (6)

(7)

Тогда общее решение имеет вид:

(8)

Важный пример

Рассмотрим уравнение

Тогда выражение (7) приобретает вид

=

Тогда общее решение выглядит так:

(9)

Очевидно, что

есть вынужденное, стационарное периодическое решение уравнения (1). При и стационарное решение устанавливается всегда, т.е. и - установившееся асимптотически устойчивое периодическое решение уравнения (1).

Для уравнения (1) решения (8) изображены в неавтономном фазовом «пространстве» - на плоскости

- время переходного процесса.

Рассмотрим два примера конкретных динамических систем, приводящихся к рассмотренным уравнениям.

На рисунке представлена схема конденсатора емкости С, разряжающегося на сопротивление R. В соответствии с законами Кирхгофа, дифференциальное уравнение разряда конденсатора пишется в виде:

или

и, следовательно, описывается экспоненциальным убывающим процессом с временем уменьшения вдвое, равным

t = R C ln 2.

Это время t пропорционально емкости С и сопротивлению R. При начальном заряде q = q₀

q (t) = q₀ e^-t/RC.

Следующий пример – торможение парашюта. Пусть по достижении скорости падения u₀ парашют раскрылся и тормозит падение пропорционально его скорости. Согласно закону Ньютона,

.

Решение этого уравнения следующее:

.

Из него следует, что начальная скорость v ₀(v ₀ > 0) экспоненциально замедляется до постоянной скорости спуска, равной mg / h. График этого процесса изображен на рисунке ниже.

До сих пор рассматриваемые нами экспоненциальные процессы носили временной характер, т.е. они менялись экспоненциально с изменением времени.

Дата добавления: 2015-04-24