Рост массы животных

Задача. Необходимо найти уравнение роста массы животного от времени. Параметры уравнения должны иметь физиологический смысл.

Гипотезы

Рост массы животных зависит от двух важнейших характеристик: абсолютной (dM/dt) и удельной (C_M) скорости роста массы. Абсолютная скорость роста массы представляет собой первую производную от функции М = f (t). Удельная скорость роста связана с абсолютной соотношением:

C_M = [1]

C_M в свою очередь является функцией массы: C_M = f (М). Она показывает, как меняется скорость роста в зависимости от веса тела.

Кроме того, согласно «теореме о среднем» (Письменный, 2002) средняя удельная скорость роста массы на отрезке времени между t₂ и t₁ определяется по формуле:

Математическая модель

Рассмотрим несколько зависимостей C_M = f (М):

1. C_M постоянна и не меняется при увеличении массы тела; C_M = Q = const.

2. C_M прямо пропорциональна массе тела; в обобщенном виде C_M = kM + b, где k и b – коэффициенты.

3. C_M обратно пропорциональна массе тела; в обобщенном виде C_M = + b, где k и b – коэффициенты.

4. C_M прямо пропорциональна массе тела в некоторой степени; в обобщенном виде C_M = kMⁿ + b, где k и b – коэффициенты, а n – показатель степени.

5. C_M обратно пропорциональна массе тела в некоторой степени; в обобщенном виде C_M = + b, где k и b – коэффициенты, а n – показатель степени.

Подробно разберем каждый случай и определим зависимость массы животного и абсолютной скорости роста от времени. Для этого преобразуем уравнение 1 к виду:

dt = [2]

Проинтегрируем выражение, получим:

, где С_М = f (М).

Случай 1. C_M = Q = const

t =

[3]

=

C_M (t) =

Полученные уравнения описывают экспоненциальный тип роста.

Случай 2. C_M = kM + b

t = =

[4]

=

C_M (t) =

При полученные уравнения описывают сигмоидальный (логистический) тип роста. Причем h – максимальная масса организма (M_max), а b – удельная скорость роста при максимальной массе (). Тогда уравнение 4 примет вид:

=

C_M (t) =

С учетом и того, что M_max > M₀ > 0 определим точку перегиба (t_p) графика функции M_t = f (t):

t_p =

=

Частный случай 2.1. C_M = kM, когда b = 0

t =

[5]

=

C_M (t) =

Случай 3. C_M = + b

t = =

[6]

= (bM₀ + k) e^bt

C_M (t) =

Произведем следующую подстановку и b = – h, тогда полученные уравнения описывают ограниченный тип роста:

=

C_M (t) =

Частный случай 3.1. C_M = , когда b = 0

t =

M_t = M₀ + kt [7]

= k = const

C_M (t) =

Случай 4. C_M = kMⁿ + b

t =

=

C_M (t) =

Частный случай 4.1. C_M = kMⁿ, когда b = 0

t =

=

C_M (t) =

Случай 5. C_M = + b

t =

=

C_M (t) =

Частный случай 5.1. C_M = , когда b = 0

t =

=

C_M (t) =

Полученные уравнения описывают параболический тип роста.

Таким образом, мы получили 9 различных уравнений, описывающих изменение массы от времени. Четыре уравнения имеют биологический смысл и проверены на практике. Это уравнения экспоненциального, логистического, ограниченного и параболического типов роста.

При использовании эмпирического метода построения математических моделей применяются соотношения, получаемые с помощью прямой обработки данных наблюдения или эксперимента. Иногда приходится выводить новые формулы на основании недостаточных данных. В таких случаях необходимо отчетливо видеть слабые места в рассуждениях, поскольку особенно велика опасность подгонки решения под желаемый результат. В таких случаях математика может принести только вред.

Особо следует рассмотреть вопрос о подборе эмпирической формулы для функциональной зависимости между величинами. Пусть мы знаем, что некоторая величина y является функцией другой величины x, т.е. y = y (x). При этом аналитическое выражение этой функции нам не известно и мы хотим подобрать для нее формулу y = f (x) с достаточной для нас точностью описывающей зависимость. Пусть в результате эксперимента или наблюдения мы получили ряд значений x и соответствующих значений y:

x = x ₁, x ₂, …, x _n;

y = y ₁, y ₂, …, y _n.

Если n не слишком велико, то данные наносят на координатную ось в виде отдельных точек. При этом становятся видны точки, выпадающие из общего хода зависимости. Они свидетельствуют о важных эффектах, требующих специального изучения, либо связаны с существенными ошибками, допущенными в ходе эксперимента или при вычислениях. В последнем случае точки просто игнорируются.

Следующим шагом является выбор формулы. Если этот вид однозначно не определяется внешним видом графика, то обычно выбирают одну из простейших элементарных функций или их комбинацию. Для этого необходимо хорошо представлять графики таких функций (рис. 2).

y = kx + b	y = 1/ x
y = ax^2 + bx + c	y = ax^3 + bx^2 + cx + d
y =	y = Ae^ax
у = Аe^-()	у = Аe^-()x
у = Аe^-()	y = logax (a > 0)
y = sin(x)	y = cos(x)
y = tg(x)	y = ctg(x)
y = Ae^-axsin(ωx+φ)	y = sin(Ax) sin(Bx)
y = A – e^-kx	y = (A – e^-kx)^n
Рис. 2 Графики некоторых функций типа y = f(x)

При этом обращают внимание на то, чтобы подбираемая функция имела те же особенности, что и изучаемая (четная, нечетная; важно правильно передать изменение функции при больших и малых значениях аргумента). На малом интервале изменения аргумента применяют линейную функцию, а вблизи точки экстремума – квадратичную функцию. Иногда не удается подобрать единую формулу на всем интервале изменения х, тогда этот интервал разбивают на части и для каждой подбирают свою формулу.

После выбора вида формулы нужно определить значения входящих в нее коэффициентов и других параметров. В случае с линейной функцией у = kх + b для подбора k и b применяется метод наименьших квадратов.

Он состоит в минимизации суммы квадратов разностей между эмпирическими значениями функции и соответствующими ее значениями, полученными из приближенной формулы:

Применение необходимого условия экстремума (равенство нулю производных первого порядка по каждому аргументу) к этой сумме, рассматриваемой как функция величин k и b, приводит к простой системе уравнений для их определения:

Этот метод можно применить и к формулам другого вида. Допустим, искомая функция является степенной y = ax^b. Прологарифмируем это выражение, получим:

ln(y) = b ln(x) + ln(a)

Заменим ln(y) на Y, ln(x) на X, ln(a) на А. Получим линейную функцию:

Y = b X + A

Далее применяем рассмотренный выше алгоритм действий.

Дата добавления: 2015-04-24