Вывод волнового уравнения для бегущих волн по струне

Волновое уравнение.

Волновое уравнение и его решение. Вывод волнового уравнения для бегущих волн по струне. Скорость волны.

S(t,r)=S₀sin(wt– ); ¶²S/¶t²=–w²S; Þ

¶²S/¶x²+¶²S/¶y²+¶²S/¶z²=–S(k_x²+ k_y²+k_z²)=–Sk²

¶²S/(¶t²c²)=¶²S/¶x²+¶²S/¶y²+¶²S/¶z²

¶²S/¶t²=DS/c², где DS – оператор Лапласа. c=w/k

Волновому уравнению также удовлетворяет уравнение любого импульса.

S=S(t– /c)

1) Поперечные волны:

Пусть натяжение в струне Т. При малых деформациях изменением натяжения можно пренебречь. Пусть j(х) - угол между силой Т и горизонталью, p – линейная плотность струны.

dx T(x+dx)

j

T(x)

Из закона Ньютона для элемента (x,x+dx):

rdx¶²S/¶t²=T(sinj_x+dx - sinj_x)=T(tgj_x+dx – tgj_x)=T(j(x+dx)–j(x))=T , где r – линейная плотность, Þ , S(t,x)=S(t–(x/c)).

2) Продольные волны в твёрдом теле:

(рисунок)

e=dx’/dx, (e>0 – сжатие, e<0 – растяжение).

dm=srdx, (s – площадь), dm(¶²S/¶t²)=DF=F(x+Dx)–F(x)=Es Þ

msrdx(¶²S/¶t²)=Es Þ (¶²S/¶t²)=(E/r)(¶²S/¶x²) Þ c²=E/r

Дата добавления: 2015-04-24